# 离散时间傅里叶（DTFT）

$\quad$ 傅里叶变化是现实世界中时域与频域之间的转换，连续信号的傅里叶变化公式为：

$$X(f) = \int^{+\infin}_{-\infin} x(t) e^{-i2\pi ft} dt \tag{1}$$

在实际操作中，我们无法完整地提取出连续信号，而是通过采样和测量将其转化为离散信号，此时连续的傅里叶变化就变为离散时间的傅里叶变化（DTFT），具体手续如下：
$\quad$ 首先，我们对现实中的信号 $x(t)$ 进行采集和测量，测量的时间间隔为 $\Delta t$。那么我们采得的信号函数 $x_d(t)$ 为：

$$x_d(t) = x(t) \sum_{n=-\infin}^{+\infin} \delta(t-n\Delta t) \tag{2}$$

其中

$$\delta(t-n\Delta t) = \begin{cases} 1 , \quad t = n\Delta t \\ 0 , \quad t \ne n\Delta t \end{cases} \tag{3}$$

将 $(2)$ 式代入 $(1)$ 式进行傅里叶变化，可得：

$$\begin{aligned} X(f) &= \int_{-\infin}^{+\infin} x_d(t) e^{-i2\pi ft} dt \\ &= \sum_{n=-\infin}^{+\infin} \int_{-\infin}^{+\infin} x(t) \delta(t-n\Delta t) e^{-i2\pi ft} dt \\ &\approx \sum_{n=-\infin}^{+\infin} x(n\Delta t) e^{-i2\pi fn\Delta t} \Delta t \end{aligned} \tag{4}$$

采样，或者说采集数据，本身就是对某种自然规律在时间轴上的离散化映射。对时间进行离散后，肯定会损失一部分信息。香农采样定理告诉我们，在频域上看，对于周期信号，只有频率小于或等于采样频率两倍的信号才不会丢失频率信息。

# 离散傅里叶（DFT）

$\quad$ 我们测量一个信号，不可能无限时间地去测量。假设我们只测量了 $N$ 个点，这就相当于我们对信号函数乘上了一个矩形窗函数的截断，即：

$$x(n\Delta t) = \begin{cases} x(n\Delta t) , \quad n=0,1,\cdots N-1 \\ 0, \quad n=else \end{cases} \tag{5}$$

这样 $(4)$ 式就变为：

$$X(f) = \Delta t \sum_{n=0}^{N-1} x(n\Delta t) e^{-i2\pi fn\Delta t} \tag{6}$$

但在计算机计算中，我们不能且不需要计算一个连续的频域函数，我们要对频域也进行离散计算。我们往往将频域离散为：

$$f = \frac{k}{N_{dft}} f_s \tag{7}$$

其中 $f_s=1/\Delta t$ 为采样频率；如果 $N_{dft}$ 是偶数，则 $k=[-\frac{N_{dft}}{2},\cdots,-1,0,1,\cdots,\frac{N_{dft}}{2}-1]$，如果 $N_{dft}$ 是奇数，则 $k=[-\frac{N_{dft}-1}{2},\cdots,-1,0,1,\cdots,\frac{N_{dft}-1}{2}-1]$；为了不损失信息，需要 $N_{dft}\ge N$，即 $N_{dft}$ 要大于或等于采用数，大多时候我们取 $N_{dft}=N$。
$\quad$ 将 $(7)$ 代入 $(6)$ 即可得：

$$X(k) = \Delta t\sum_{n=0}^{N-1} x(n\Delta t) e^{-i2\pi \frac{nk}{N_{dft}}} \tag{11}$$

上式就是离散傅里叶变换（DFT），即对时间截断并离散，又对频率离散的傅里叶。个人理解：为何频率要以这种方式离散？这是一种约定成熟，或者是这种离散在计算机中有快速计算的方法（FFT 算法）。