# 误差的基本性质

$\quad$ 所谓误差就是测得值与被测量的真值之间的差，可用以下形势表示：

$$误差=测量值-真值 \tag{1.1}$$

下面我们将介绍误差的两种表示形式，以及三种误差分类。

# 误差的两种表示形式

# 绝对误差

$\quad$ 绝对误差，它是某量值的测得值和真值之差。我们通常称的误差一般就是绝对误差。他表示为即：

$$\Delta L = L-L_{0} \tag{1.2}$$

其中 $\delta L$ 表示绝对误差，$L$ 表示测量值，$L_0$ 表示真值。
$\quad$ 绝对误差的特点为：

• 绝对误差是一个具有确定的大小、符号及单位的量。
• 单位给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。

# 相对误差

$\quad$ 相对误差，它是绝对误差与被测量真值之比，即：

$$r = \frac{\Delta L}{L_{0}} \tag{1.3}$$

相对误差的特点是：

• 相对误差有大小和符号。
• 无量纲，一般用百分数来表示。

# 误差的分类

# 系统误差

$\quad$ 在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差称之为系统误差（Systematic Error）。由于系统误差具有一定的规律性性，因此可以根据其产生原因，采取一定的技术措施，设法消除或减小。举几个例子：

• 用天平计量物体质量时，砝码的质量偏差。
• 刻线尺的温度变化引起的示值误差。
• 在离子频标中所讨论的对不确定度影响的那几个因素，例如二阶 Doppler 频移、DC Stark 频移、AC Stark 频移、Zeeman 频移、电四极频移、黑体辐射频移、引力红移等，其实都是系统误差。

# 随机误差

$\quad$ 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称之为随机误差（Random Error）。例如仪器仪表中传动部件的间隙和摩擦、连接件的弹性形变等引起的示值不稳定等。
$\quad$ 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。

# 粗大误差

$\quad$ 超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差（Gross Error）。此误差值较大，明显歪曲测量结果，一般是某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。

# 三类误差的关系及其对测得值的影响

• 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。
• 但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。
• 一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。

$\quad$ 下面这幅图可以描述三种误差的区别。

$\quad$ 这里要提示一下，期望值与均值是有区别的。
$\quad$ 均值是针对实验观察到的特征样本而言的，比如说我们进行掷骰子，掷了六次，点数分别为 2，2，2，4，4，4，那么对于这六次观察样本来说，均值为 $(2+2+2+4+4+4)/6=3$。
$\quad$ 而期望值是针对随机变量而言的一个量，可以理解是一种站在 “上帝视角” 的值。可以先给出期望值的定义：

$\quad$ 离散型随机变量 $x$ 的取值为 $x_1$，$x_2$，$x_3$，$\cdots$，$x_n$，它们对于的概率为 $p(x_1)$，$p(x_2)$，$p(x_3)$，$\cdots$，$p(x_n)$，则该离散型随机变量的期望值为：

$$E(x)=x_1\cdot p(x_1) + x_2\cdot p(x_2) + x_3\cdot p(x_3) + \cdots + x_n\cdot p(x_n)$$

那么上面这个掷骰子的例子对应的期望值应该是：

$$E(X) = 1\times\frac{1}{6} + 2\times\frac{1}{6} + 3\times\frac{1}{6} + 4\times\frac{1}{6} + 5\times\frac{1}{6} + 6\times\frac{1}{6} = 3.5 \tag{1.4}$$

所以，我觉得，可以将期望值理解为真值，均值理解为测量的均值。一些情况下，例如不存在系统误差的理想情况下，测量次数足够多，均值是可以收敛为期望值的。

# 误差与精度

$\quad$ 反映测量结果与真值接近程度的量，通常称为精度，它与误差的大小相对应，因此可用误差大小来表示精度的高低。精度可分为：

1. 准确度（Correctness）：它反映测量结果中系统误差的影响程度。
2. 精密度（Precision）：它反映测量结果中随机误差的影响程度。
3. 精确度（Accuracy）：它表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差越大，精确度越低，误差越小，则精确度越高。

$\quad$ 下图是一副很经典的图片，反映了准确的、精密度和精确度三者之间的关系。

上图所示的打靶结果，子弹落在靶心周围有三种情况。图 $(a)$ 的弹着点全部在靶
上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，准确度高；图 $(b)$ 的弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，准确度低；图 $(c)$ 的弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、准确度都高，从而精确度高。

# 有效数字与数字舍入

# 有效数字的保留

$\quad$ 一般来说，在测量结果中，最末一位有效数字取到哪一位，是由测量精度来决定的，即最末一位有效数字应与测量精度是同一量级的。例如用千分尺测量时，其测量精度只能达到 $0.01\mathrm{~mm}$，若测出长度 $L=20.531\mathrm{~nm}$，那么测量结果应写为 $(20.54\pm0.01)\mathrm{~mm}$。
$\quad$ 在一些重要的测量时，测量结果和测量误差可比测量精度再多取一位数字作为参考。例如在某个测量精度为 $0.01$ 的仪器上进行多次测量，若最终多次测量的平均值为 $15.214123321$，标准差为 $0.4211111$。那么我们最终的测量结果可以表示为 $15.214\pm0.042$。

# 数字的舍入规则

$\quad$ 对于位数很大的近似数，当有效位数确定后，其后面多余的数字应予舍去，而保留的有效数字最后一位数字应有一定的规则。从小学开始，老师就教授我们了一个方法，叫做四舍五入。但这种方法在精密测量领域中并不好用，这是因为在大量运算时，四舍五入这种 “见 5 就入” 的方法会导致出现系统误差，即舍入误差的均值不趋于零。下面就介绍另一种舍入规则：

1. 若舍去部分的数值大于保留部分的末位的半个单位，则末位加 1。
2. 若舍去部分的数值小于保留部分的末位的半个单位，则末位不变。
3. 若舍去部分的数值等于保留部分的末位的半个单位，则保留部分的末位凑成偶数。即当保留部位的末位为偶数时则不变，若为奇数则末位加 1。

$\quad$ 以上述的舍入规则举几个例子：

该舍入规则的第三条，被舍去的数字不是 “见 5 就入”，从而使舍入误差称为随机误差，在大量运算时，其舍入误差的均值就趋于零了。

# 随机误差

$\quad$ 当对同一量值进行多次等精度的重复测量时，得到一系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有误差，这些误差的出现又没有确定的规律，却具有统计的规律性，这种往往是随机误差。在这一节中，将来具体学习随机误差的一些处理方法。

# 正态分布

$\quad$ 正态分布在误差理论中占有十分重要的地位，这是因为多数随机误差都服从正态分布。
$\quad$ 正态分布的分布密度函数 $f(\delta)$ 为：

$$f(\delta) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{\delta^2}{2\sigma^2}} \tag{2.1}$$

若 $x$ 是测量值，$\mu$ 为测量总体的数学期望，如果不计系统误差和粗大误差，则 $\delta=x-\mu$ 为随机误差。
$\quad$ 正态分布的方差为 $\sigma^2$，而标准差则为 $\sigma$，这是因为：

$$\sigma^2 = \int^\infin_{-\infin} \delta^2 f(\delta)\ d\delta \tag{2.2}$$

$\quad$ 另外值得一提的是，我们常说一些光斑的强度分布服从高斯分布，或者离子阱中看到的离子成像满足高斯分布，其实高斯分布就是正态分布。

# 算术平均值

$\quad$ 在系列测量中，被测量的 $n$ 个测得值的代数和除以 $n$ 而得的值称为算术平均值。例如，设 $l_1$，$l_2$，$\cdots$，$l_n$ 为 $n$ 次测量所得的值，则算术平均值 $\bar{x}$ 为：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^nl_i}{n} \tag{2.3}$$

若不存在系统误差和粗大误差，则根据概率论的大数定律可知，当测量次数无限增加时，算术平均值必然趋于真值。

# 测量列中单次测量的标准差

$\quad$ 由于随机误差的存在，一次等精度测量列中各个测量值一般皆不相等，它们围绕着该测量列的算术平均值有一定的分散，此这种分散度暗含着该测量列中单次测量的不可靠性，必须用一个数值作为其不可靠性的评定标准。我们常用的就是标准差 $\sigma$，又称方均根误差。
$\quad$ 标准差 $\sigma$ 不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，$\sigma$ 的大小只说明一定条件下等精度测量列随机误差的概率分布情况。如下图所示，标准差 $\sigma$ 的数值越小，该测量列相应小的误差占优势，任一单次测得值对算术平均值的分散度就小，测量的可靠性就大，即测量精度高；反之，测量精度就低。

$\quad$ 在等精度测量列中，单次测量的标准差按下式计算：

$$\sigma = \sqrt{\frac{\delta_1^2+\delta_2^2+\cdots+\delta_n^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n\delta^2_n}{n}} \tag{2.4}$$

上式中，$n$ 为测量次数（应该充分大）；$\delta_i$ 是某次测量值与真值（测量总体的数学期望值）之差，即 $\delta_i=L_i-L_o$。

$\quad$ 但一般来说，被测值的真值一般是未知的，无法按照 $(2.4)$ 式求得标准差。实际上，在有限次测量情况下，可用残余误差 $\nu_i$ 代替真误差，从而求得标准差的估计值。先做明确的符号说明，进行一次等精度的 $n$ 次测量：

$$\delta_i = L_i-L_0 \tag{2.5}$$

$$\nu_i = L_i-\bar{L} \tag{2.6}$$

$$\bar{\delta} = \frac{\sum_{i=1}^n \delta_i}{n} = \bar{L}-L_0 \tag{2.7}$$

其中 $\delta_i$ 是测量值的真误差，$L_0$ 是真值（或者可认为是测量总体的期望值）；$\nu_i$ 是测量值的残余误差，简称残差，$\bar{L}$ 是一次等精度测量列的算术平均值；$\bar{\delta}$ 称为算术平均值的误差，是该测量列的算术平均值与真值之差。
$\quad$ 下面我们就来具体推导如何用残差来估计测量列的标准差。首先利用上三式可得：

$$\begin{cases} \delta_1 = l_1-L_0 = l_1 - \bar{L} + \bar{L} - L_0 = \nu_1+\bar{\delta} \\ \delta_2 = l_2-L_0 = l_2 - \bar{L} + \bar{L} - L_0 = \nu_2+\bar{\delta} \\ \vdots \\ \delta_n = l_n-L_0 = l_n - \bar{L} + \bar{L} - L_0 = \nu_n+\bar{\delta} \end{cases} \tag{2.8}$$

将 $(2.8)$ 式的每一项相加可得：

$$\sum_{i=1}^n \delta_i = \sum_{i=1}^n \nu_i + n\bar{\delta} \\ \ \\ \begin{aligned} \Longrightarrow \bar{\delta} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \delta_i}{n} - \frac{\sum\limits_{i=1}^n \nu_i}{n} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \delta_i}{n} \tag{2.9} \end{aligned}$$

我们在将 $(2.8)$ 式的每一项平方相加可得：

$$\sum_{i=1}^n \delta_i^2 = \sum_{i=1}^n \nu_i^2 + n\bar{\delta}^2 + 2\bar{\delta}\sum_{i=1}^n \nu_i = \sum_{i=1}^n \nu_i^2 + n\bar{\delta}^2 \tag{2.10}$$

上两式均利用到了 $\sum_{i=1}^n \nu_i=0$ 的特点。我们再将 $(2.9)$ 式平方有：

$$\bar{\delta}^2 = \left[\frac{\sum\limits_{i=1}^n \delta_i}{n}\right]^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^n\delta_i^2}{n^2} + \frac{2\sum\limits_{1\le i < j}^n \delta_i\delta_j}{n^2} \xrightarrow[且没有系统误差]{当n适当大时} \frac{\sum\limits_{i=1}^n\delta_i^2}{n^2} \tag{2.11}$$

其中，由于一般随机误差的正负是对称且随机的，比如说正态分布的随机误差，所以当不存在随机误差且 $n$ 适当大时，可认为 $\frac{2\sum\limits_{i=1}^n \delta_i\delta_j}{n^2}$ 趋近于零，从而使得 $\sum\limits_{1\le i < j}^n \delta_i\delta_j$ 趋于零。我们不妨将 $(2.11)$ 式的最后一项写成一个小量，用 $\mathcal{O}$ 来表示，即：

$$\bar{\delta}^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^n\delta_i^2}{n^2} + \mathcal{O} \tag{2.12}$$

利用 $(2.10)$ 式，将 $\bar{\delta}^2$ 代入 $(2.12)$ 式可得：

$$\sum_{i=1}^n\delta_i^2-\sum_{i=1}^n\nu_i^2 = \frac{\sum\limits_{i=1}^n\delta_i^2}{n} + n\mathcal{O} \tag{2.13}$$

再利用 $(2.4)$ 式的标准差 $\sigma$ 定义，可将上式化为：

$$n\sigma^2 - \sum_{i=1}^n\nu_i^2 = \sigma^2 + n\mathcal{O}\\ \begin{array}{c} \\ \Longrightarrow \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}\limits^n\nu_i^2}{n-1}+\frac{n}{n-1}\mathcal{O}} \tag{2.14} \end{array}$$

由于 $\mathcal{O}$ 在不存在系统误差（或者系统误差很小），测量次数 $n$ 足够大时趋于零，因此，根据上式，我们便可得到用残差求单次测量的标准差的估计值：

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}\limits^n\nu_i^2}{n-1}} \approx\sigma \tag{2.15}$$

该式称为贝塞尔（Bessel）公式。

$\quad$ 关于 $(2.4)(1.2.15)$ 式有一个更规范的说法。对一列有限次 $n$ 个测量值，应视为测量总体的取样。关于 $(2.4)$ 式计算的标准差应该称为总体标准差，用 $\sigma$ 表示，它其实代表着测量值与总体测量量真值的分散度；$(2.15)$ 式计算的标准差应该称为样本标准差，在一些文献会把它写作 $s$，以此区分总体标准差 $\sigma$。虽说要以此区分，但正如上两式所看到的，在 $\mathcal{O}$ 趋于零时，$s$ 可以作为 $\sigma$ 的估计量，而这也是在不知道真值是，评价测量随机误差的一个常用方法。
$\quad$ 有一个大一时我就纠结的问题，为什么用贝塞尔公式的分母是 $n-1$，而不是 $n$ 或者是 $n-2$、$n-3$ 之类的呢？看了看网上一些回答，结合我的思考，我想给出一个很不严谨，但还是能勉强接受的解释。首先是从数学推导上看，上面一路推导下来大概是没什么问题的。通过 $(2.15)$ 式，我们看看如果贝塞尔公式中分母是 $n$ 那会出现什么：

$$\sqrt{\frac{\sum_{i=1}\limits^n\nu_i^2}{n}} < \sigma \approx \sqrt{\frac{\sum_{i=1}\limits^n\nu_i^2}{n-1}} < \sqrt{\frac{\sum_{i=1}\limits^n\nu_i^2}{n-2}} \tag{2.16}$$

可见，若贝塞尔公式中的分母是 $n$，那么在不知道随机变量真实值的前提下，将会导致估计的标准差偏低。而将分母 $n$ 换成 $n-1$，实际上就是修正这种偏差的一个方法。若分母是 $n-2$ 就修正过头了，当然我们没有任何理由或者是想把分母写为 $n-2$ 的想法。
$\quad$ 可以更加直观地理解一下，为什么是 $n-1$ 呢？如果是 $(2.4)$ 的总体标准差 $\sigma$，那么数据的自由度为 $n$，即 $n$ 个测量值，这样的话分母是 $n$ 不能理解。但若是 $(2.15)$ 式的样本标准差，那么里面的 $\bar{L}$ 实际上偷走了一个自由度，导致自由度只有 $n-1$，所以如果用直观的物理直觉也就不难理解为什么分母是 $n-1$ 了。总的来说，当我们用 $\bar{L}$ 代替 $L_0$ 的过程中，我们不知不觉地损失了一个自由度。

# 测量列中算术平均值的标准差

$\quad$ 上一小节中，我们讨论的某测量列中单次测量的标准差。但作为测量的结果，我们肯定不是以测量列中某一次测量值作为测量结果，而是以算术平均值作为测量结果。那么我们最终写在实验报告上的测量结果为 “测量列的算术平均值 ± 测量列中单次测量的标准差” 是否合理呢？答案当然是不合理的。如果在相同条件下对同一个测量值进行多组重复的系列测量，每一给测量列都有一个算术平均值，由于随机误差的存在，各个测量列的算术平均值也不相同，它们围绕着被测量的真值有一定的分散。与单次测量一样，此分散说明了算术平均值的不可靠性，所有我们同样需要一个算术平均值的标准差 $\sigma_{\bar{x}}$ 来表征同一被测值的各个独立测量列算术平均值的分散性。
$\quad$ 那么我们来看看，测量列算术平均值的标准差如何求得。考虑一个 $n$ 次等精度测量列的算术平均值为：

$$\bar{x} = \frac{l_1+l_2+\cdots+l_n}{n} \tag{2.17}$$

还记得大一时学得概统吗，方差用 $D(x)$ 来表示，其满足：

$$\begin{cases} D(ax) = a^2D(x) \\ D(x_1+x_2) = D(x_1)+D(x_2) \end{cases} \tag{2.18}$$

因此测量列算术平均值取方差为：

$$D(\bar{x}) = \frac{1}{n^2}\left[D(l_1)+D(l_2)+\cdots D(l_n)\right] \tag{2.19}$$

因为是等精度测量，测量列中每个单次测量的方差（标准差）都是相同的，即：

$$D(l_1) = D(l_2) = \cdots D(l_n) = \sigma^2 \tag{2.20}$$

故有：

$$\sigma_{\bar{x}}^2 = D(\bar{x}) = \frac{\sigma^2}{n} \tag{2.21}$$

因此，测量列算术平均值的标准差与测量列单次测量的标准差关系为：

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \tag{2.22}$$

$\quad$ 由上式可知，在 $n$ 次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的 $1/\sqrt{n}$，当测量次数越大时，算术平均值越接近被测量的真值（当然是假设没有系统误差的情况），测量精度也越高。从图 $5$ 的两图中也能明显地看出，当取多个测量值做平均时，此时的分散性确实明显减小了。

$\quad$ 既然随着测次数的增加，可以提高测量精度，那么是不是我测量次数越多越好呢？其实不然，由 $(2.22)$ 式可知，测量精度与测量次数的平方根成反比，因此要显著提高测量精度，必须付出较大的劳动力。当 $\sigma$ 一定时，当 $n>10$ 以后，$\sigma_{\bar{x}}$ 已经减小得非常缓慢了。此外，由于测量次数越大时，也越难保证测量条件的恒定，从而带来新的误差，因此一般情况下取 $n\le 10$ 较为适宜。

$\quad$ 下面给一个简单的例题：

例题：用游标卡尺对某一尺寸测量 10 次，假定已经消除系统误差和粗大误差，得到的数据如下（单位为 $\mathrm{mm}$）：

求测量列的单次测量标准差和算术平均值标准差。

$\quad$ 解：先用贝塞尔公式估计单次测量的标准差：

$$\sigma = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n\nu_i^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{0.00825}{10-1}} \mathrm{~mm} = 0.0303\mathrm{~mm} \tag{2.23}$$

再计算测量列的算术平均值标准差：

$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.0303}{\sqrt{10}} \mathrm{~mm} = 0.0096\mathrm{~mm} \tag{2.24}$$

# 测量的极限误差

$\quad$ 超过极限误差的测量值我们认为是几乎是不可能出现的。这一小节就来学习一下，我们怎么来标定测量结果（单次测量或测量列的算术平均值）的极限误差。

# 单次测量的极限误差

$\quad$ 求单次测量的极限误差的前提条件是：测量列的测量次数足够多，且单次测量误差为正态分布。若满足以上两点，那么由概率积分知识可知，随机误差在 $-\delta$ 至 $+\delta$ 范围内的概率为：

$$P(-\delta\sim\delta) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^{+\delta}_{-\delta} e^{-\frac{\delta^2}{2\sigma^2}}\ d\delta = \frac{2}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^{+\delta}_{0} e^{-\frac{\delta^2}{2\sigma^2}}\ d\delta \tag{2.25}$$

为了方便讨论，人们引入新的变量 $t$：

$$t = \frac{\delta}{\sigma},\quad\delta=t\sigma \tag{2.26}$$

变换，将 $(2.25)$ 式化为：

$$P(-\delta\sim\delta) = \frac{2}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int^{t\sigma}_0 e^{-\frac{t^2}{2}}\ d(t\sigma) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int^{t}_0 e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt \tag{2.27}$$

再引入正态分布概率积分函数 $\Phi(t)$：

$$\Phi(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{t}_0 e^{-\frac{t^2}{2}}\ dt \tag{2.28}$$

便可将 $(2.27)$ 式化为：

$$P(-\delta\sim\delta) = 2\Phi(t) \tag{2.28}$$

因此，若我们要想知道误差在 $-t\sigma\sim+t\sigma$ 范围内的概率是多数，我们只需要查询正态分布积分表，找到不同 $t$ 的 $\Phi(t)$ 值，代入 $(2.28)$ 式计算便可，十分方便。若我们想知道超过误差范围的概率 $\alpha$ 是多少，也只需要计算：

$$\alpha = 1-2\Phi(t) \tag{2.29}$$

$\quad$ 部分正态分布积分表如下所示：

由上表可见，随着 $t$ 增大，超出对于误差范围的概率明显减小，当 $t=3$ 时，超出 $-3\sigma\sim+3\sigma$ 范围的误差概率已经只有 0.0027 了，这在测量次数不超过几十次的一般测量中，已经几乎是不可能出现的了。因此我们通常把这个误差称为单次测量的极限误差 $\delta_{\lim}x$，即：

$$\delta_{\lim}x = \pm 3\sigma \tag{2.30}$$

将 $\pm3\sigma$ 作为极限误差大小，这是人们习惯用的，也称作 $3\sigma$ 准则。
$\quad$ 然而，更具实际情况，也有可能取其他的 $t$ 值来表示单次测量的极限误差，即：

$$\delta_{\lim}x = \pm t\sigma \tag{2.31}$$

所以为了方便，我们也将 $t$ 称为置信系数。若已知测量的标准差 $\sigma$，选定置信系数 $t$，便可由 $(2.31)$ 式求得单次测量的极限误差了。

# 算术平均值的极限误差

$\quad$ 寻找算术平均值的极限误差也可以与上述单次测量的一样。当多组测量列的算术平均值的误差 $\delta_{\bar{x}i}$ 为正态分布时，同样可以通过选定置信系数 $t$ 来确定测量列算术平均值的极限误差：

$$\delta_{\lim}\bar{x} = \pm t \sigma_{\bar{x}} \tag{2.32}$$

其中，$\sigma_{\bar{x}}$ 就是 $(2.22)$ 式中介绍的算术平均值标准差。

$\quad$ 但是，在实际测量中，往往测量列的测量次数比较少，我们一般不适用正态分布来计算算术平均值的极限误差，取而代之的是 “学生式” 分布，又称 $t$ 分布，即：

$$\delta_{\lim}\bar{x} = \pm t_{\alpha} \sigma_{\bar{x}} \tag{2.33}$$

式中的 $t_{\alpha}$ 为 $t$ 分布的置信系数，它由给定的置信概率 $P=1-\alpha$ 和自由度 $\nu=n-1$ 来确定，具体数值查表，下图则是 $t$ 分布表的部分。$\alpha$ 为超出极限误差的概率（又称显著度或显著水平），通常取 0.01，0.02 或 0.05；$n$ 为测量列中的测量次数。

# 不等精度测量

$\quad$ 上面讲述的内容皆是等精度测量的问题，在一般测量实践中基本上都属于这种类型。在高精度测量中，往往在不同的测量条件下，用不同的方法进行测量与对比，这种测量称为不等精度测量。
$\quad$ 在一般的工作中，常遇到的不等精度测量有两种情况：

1. 用不同测量次数进行对比测量。例如，用同一台仪器测量某一参数，先后用 $n_1$ 和 $n_2$ 次进行测量，分别求得算术平均值 $\bar{x}_1$ 和 $\bar{x}_2$ 的精度是不一样的。
2. 用不同精度的仪器进行对比测量。对于同一个参数，用不同精度的仪器进行测量，结果的精度自然是不同的。

$\quad$ 那么对于这种不等精度测量，计算最后测量结果以及精度（如标准差），就不能套用前面等精度测量的计算公式了，我们需要另作讨论。

# 权重与加权算术平均值

$\quad$ 对于各组不等精度测量的结果，其可靠程度可用一组数值来表示，这个数值即称为测量结果的权重，或称权，记作 $p$。测量结果的权可以理解为，当它与另外一些测量结果比较时，对于该测量结果所给予的信赖程度。

$\quad$ 那么，我们现在来看看，如何确定各组测量结果的权重大小，或者说，如何测量各组权重大小的比值，因为权重的比值才是真正有用的参考。以及，如何确定在各组不等精度的测量结果下，如何决定最终的测量结果。
$\quad$ 我们设各组不等精度测量值为 $x_i$，且每组测量值的标准差 $\sigma_i$ 服从正态分布。那么每组测量结果为 $x_i$ 的概率则为：

$$P_{x_i} = \lim_{dx\rightarrow 0} \frac{1}{\sigma_i\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2_i}\right] dx \propto \frac{1}{\sigma_i\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2_i}\right] \tag{2.34}$$

其中 $\bar{x}$ 是测量的平均值，也就是我们衡量多组不等精度测量结果后最终确定的结果。那么，$m$ 组不等精度测量后，测量结果分别为 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$ 的概率与 $\bar{x}$ 的关系式为：

$$P(\bar{x}) = \prod^m_{i=1} \frac{1}{\sigma_i\sqrt{2\pi}} \exp\left[-\frac{(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2_i}\right] = A \exp\left[-\sum_{i=1}^m\frac{(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2_i}\right] \tag{2.35}$$

接下来，我们要寻求上式的极大值。即，$\bar{x}$ 取何值时，才会从理论上以最大的概率出现我们的测量结果 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$。那么我们求上式的极值：

$$\begin{aligned} \frac{dP(\bar{x})}{d\bar{x}} = \frac{d}{d\bar{x}}\left\{A \exp\left[-\sum_{i=1}^m\frac{(x_i-\bar{x})^2}{2\sigma^2_i}\right]\right\} = 0 \end{aligned} \\ \ \\ \begin{aligned} \Longrightarrow \sum^m_{i=1} \frac{x_i-\bar{x}}{\sigma_i^2} = 0 \end{aligned} \\ \ \\ \Longrightarrow \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^m\frac{x_i}{\sigma_i^2}}{\sum_{i=1}^m\frac{1}{\sigma_i^2}} \tag{2.36}$$

上式便是在已知的多组测量结果下，最大概率的测量的平均值，这种推导方法称为最大似然法。于是，我们便可以定义：

$$p_i = \frac{1}{\sigma_i^2} \tag{2.37}$$

$$\tilde{p}_i = \frac{p_i}{\sum_{i=1}^mp_i} \tag{2.38}$$

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^mp_ix_i}{\sum_{i=1}^mp_i} = \sum_{i=1}^m \tilde{p}_ix_i \tag{2.39}$$

其中 $(2.37)$ 式就是各组不等精度测量的权重；$(2.38)$ 则是归一化后的权重；$(2.39)$ 则是各组不等精度测量的加权算术平均值，我们用它来作为我们最终测量的结果。

# 加权算术平均值的标准差

$\quad$ 对同一被测量进行 $m$ 组不等精度测量，得到 $m$ 个测量结果 $x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_m$，并已知各组测量结果的标准差 $\sigma_1$，$\sigma_2$，$\cdots$，$\sigma_m$，那么通过 $(2.37)\ (1.2.39)$ 两式便可计算各组测得值的权重，以及作为最终测量结果的加权算术平均值。那么至此，我们又该如何评价这个最终结果的标准差呢？我们利用到 $(2.18)$ 式的方差性质，结合 $(2.39)$ 式可得：

$$D(\bar{x}) = \left(\frac{1}{\sum_{i=1}^mp_i}\right)^2 \sum_{i=1}^m p_i^2 D(x_i) \tag{2.40}$$

利用标准差与方差的关系，以及 $(2.37)$ 式，可得：

$$D(x_i) = \sigma_i^2 = \frac{1}{p_i} \tag{2.41}$$

将 $(2.41)$ 代入 $(2.40)$ 式可得：

$$D(\bar{x}) = \left(\frac{1}{\sum_{i=1}^mp_i}\right)^2 \sum_{i=1}^m p_i = \frac{1}{\sum_{i=1}^mp_i} \tag{2.42}$$

因此，最终可得加权算术平均值的标准差为：

$$\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{D(\bar{x})} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^mp_i}} = \sqrt{\frac{1}{\sum_{i=1}^m \frac{1}{\sigma_i^2}}} \tag{2.43}$$

所以，知道了每组不等精度测得值的标准差，我们便可以利用上式计算出加权算术平均值的标准差，以此作为最终结果的评价。

$\quad$ 我们可以考虑一下，若 $m$ 组皆为等精度测量，测量标准差均为 $\sigma$，那么它们的加权算术平均值的标准差则为：

$$\sigma_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{1}{m/\sigma^2}} = \frac{\sigma}{\sqrt{m}} \tag{2.44}$$

咦～～我们发现，这是便回到了 $(2.22)$ 式的测量列算术平均值标准差与测量列单次测量标准差的关系，即很自然地回到了等精度测量时的情况。

# 不等精度测量的例题

$\quad$ 用 $A,B$ 两种仪器对 $5\mathrm{~V}$ 稳压芯片的输出电压进行两次测量，测量结果分别为 $5.005\mathrm{~V}$ （标准差为 $0.006\mathrm{~V}$）、$5.002\mathrm{~V}$ （标准差为 $0.008\mathrm{~V}$），求该输出电压的最佳估计值，并评估最佳估计值的标准差。

$\quad$ 解：两种仪器的测量构成了两种不等精度的测量列，两次测量的结果分别为：

$$U_A = 5.005\mathrm{~V},\quad \sigma_A = 0.006\mathrm{~V};\quad U_B = 5.002\mathrm{~V},\quad \sigma_B = 0.008\mathrm{~V}$$

它们测量的权重是：

$$P_A:P_B = \frac{1}{\sigma^2_A}:\frac{1}{\sigma^2_B} = \frac{1}{6^2}:\frac{1}{8^2} = 16:9$$

那么它们的加权平均值，即输出电压的最佳估计值为：

$$\bar{U} = \frac{U_AP_A+U_BP_B}{P_A+P_B} = \frac{5.005\times16+5.002\times9}{16+9} = 5.004\mathrm{~V}$$

其加权平均值标准差为：

$$\sigma_{\bar{V}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{1}{\sigma_A^2}+\frac{1}{\sigma_B^2}}} = 0.0048 \approx 0.005\mathrm{~V}$$

# 随机误差的其他分别

$\quad$ 在上面，我们常以随机误差服从正态分布为前提讨论问题。虽然正态分布是随机误差最普遍的分布之一，但并不是唯一的分布规律。例如比较常见的非正态分布就有：均匀分布、反正弦分布、三角分布、$\chi^2$ 分布、$t$ 分布、$F$ 分布等。我不想在这里一一介绍，这太费功夫了。若有需要，以后就自己查阅一下资料吧。