# 前言

$\quad$ 本文主要是阅读博士论文^[1]第二章的笔记，内容包括了三部分：
$\quad$ 第一部分是离子光频标的实现原理。这一部分将主要以 $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 离子为例，简要介绍作为光频标的候选离子，其能级结构所满足的条件，以及我们怎样利用这个能级结构实现光钟的锁定，也就是实现钟跃迁的闭环锁定。第二部分介绍钟跃迁频率的测量，也就是锁定后的钟激光频率测量，这需要会用到飞秒光梳系统来完成，因此在这里也会介绍光梳的基本概念。第三部分将介绍离子光频标对比测量的原理、方案。

# 离子光频标的实现原理

# 钙离子光频标的能级结构

$\quad$ $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 离子属于碱土金属离子，其结构类似于氢原子，涉及到光频标搭建的能级如图 $1$ 所示。

$\quad$ $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 没有核自旋，因此没有超精细能级结构，只需考虑自旋轨道耦合作用下产生的精细能级结构即可。除了最低能级的基态 $4{^2}\mathrm{S}_{1/2}$ 外，钙离子光频标搭建主要还涉及到了四个能级态，分别是精细结构分裂的两个 $\mathrm{P}$ 态的子能级 $4{^2}\mathrm{P}_{1/2}$ 和 $4{^2}\mathrm{P}_{3/2}$，和两个 $\mathrm{D}$ 态子能级 $3{^2}\mathrm{D}_{3/2}$ 和 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$。两个 $\mathrm{P}$ 态的很短能级寿命，约为 $7\mathrm{~ns}$，适合作为多普勒冷却的循环能级，或回泵过程的 “中转能级”；而相对稳定的两个 $\mathrm{D}$ 态为亚稳态，能级寿命约为 $1\mathrm{~s}$，因此有较窄的自然线宽，这是作为光频标的一个必要条件。

# 钙离子光频标的相关激光

$\quad$ 钙离子光频标的搭建主要利用到 $4$ 种激光，下面来一一介绍：
$\quad$ 在钙离子光频标中，对应 $4{^2}\mathrm{S}_{1/2}\ -\ 4{^2}\mathrm{P}_{1/2}$ 的电偶极跃迁的激光波长为 $397\mathrm{~nm}$，用于激发电偶极跃迁形成冷却循环，称为冷却光。一个良好的多普勒冷却循环能级系统应具备两个条件：其一是激发态要有快速的自发辐射，其二是循环跃迁要具有封闭性。由于 $4{^2}\mathrm{P}_{1/2}$ 态较短的能级寿命，这使钙离子具备较高的冷却循环效率。但处于 $4{^2}\mathrm{P}_{1/2}$ 态的离子有一定的几率跃迁到亚稳态 $3{^2}\mathrm{D}_{3/2}$ 上。$3{^2}\mathrm{D}_{3/2}$ 较长的寿命使得落入该态的离子一时间无法回到基态，从而导致多普勒冷却循环的终止，荧光信号消失。为了使冷却循环继续进行，需要一束 $866\mathrm{~nm}$ 激光将离子从 $3{^2}\mathrm{D}_{3/2}$ 态回泵到 $4{^2}\mathrm{P}_{1/2}$ 态，称之为冷却回泵光。
$\quad$ 在钙离子光频标体系中，$4{^2}\mathrm{S}_{1/2}$ 到 $3{^2}\mathrm{D}$ 的两个子能级的跃迁是电四极跃迁，属于禁戒跃迁。由于 $3{^2}\mathrm{D}_{3/2}$ 已经被包含到多普勒冷却循环能级（一个三能级系统），所以我们选择利用 $4{^2}\mathrm{S}_{1/2}$ 到 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$ 的跃迁作为钙离子光钟的钟跃迁，对应的激光波长为 $729\mathrm{~nm}$，它就是所谓的钟激光，也被称为探测光。（但我感觉 “探测光” 这一称呼容易引起误解，因为我们真正所探测的荧光信号对应的应该是冷却光，因此在光频标领域，比起 “探测光”，我更愿意把该激光称为 “钟激光”。）
$\quad$ 在光频标的探测阶段，先会用 $729\mathrm{~nm}$ 的探测光将离子从基态 $4{^2}\mathrm{S}_{1/2}$ 激发到 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$，此后我们会对荧光信号进行探测。在探测阶段结束后，我们往往等不急（对于另外一些体系的光频标来说甚至是等不了）离子自发辐射回到基态，所以我们需要使用一束 $854\mathrm{~nm}$ 的淬火光将处于 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$ 态的离子激发到 $4{^2}\mathrm{P}_{3/2}$ 上。由于 $4{^2}\mathrm{P}_{3/2}$ 是短寿命的能级，离子将会很快地自发辐射回到基态，重新进入冷却循环中。
$\quad$（冷知识：“淬灭 (Quenching)”，源于金属学中的淬火，原意是指快速冷却。在这里，钙离子被 $729\mathrm{~nm}$ 的钟激光激发到 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$ 态上迟迟不能回到基态，就如同金属用火加热后迟迟不能冷却一样。这时利用 $854\mathrm{~nm}$ 的激光让离子快速回到基态，就形似于利用水快速让金属冷却的淬火过程，因此该激光也被称为 “淬灭光”。）

# 钟跃迁谱线的基本探测方案

$\quad$ 钙离子光频标是基于 $4{^2}\mathrm{S}_{1/2}$ 到 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$ 电四极的跃迁激光频率锁定实现的。在这个锁定的过程中，很重要的一点是：我们需要知道在一段钟激光脉冲下，离子究竟跃迁了 “多少”，这可以通过荧光光子信号来判断。几乎所有钟激光的跃迁探测方案都是利用所谓的电子搁置技术进行的，其原理大致可以描述为：利用钟激光将（部分）离子搁置在脱离冷却循环的亚稳态能级中，再开启多普勒冷却激光，成功激发到长寿命的亚稳态的离子在此后不会发出荧光信号，这样就可以实现对钟激光跃迁效率的评估。
$\quad$ 这样的一次钟跃迁的探测方案可以粗略地划分为三个阶段：准备阶段、钟激发阶段、探测阶段。下面来逐一介绍：

1. 在准备阶段，我们会打开 $397\mathrm{~nm}$ 冷却光、$866\mathrm{~nm}$ 回泵光以及 $854\mathrm{~nm}$ 的淬灭光。这出于两个目的：第一是将跃迁到亚稳态的离子淬灭回到基态；第二是每次探测之前都要进行激光冷却使离子保持较低的温度。
2. 然后钟激发阶段将由 $729\mathrm{~nm}$ 的钟激光来完成。为了减小离子与激光相互作用而导致的 Ac Stark 频移^[2]，在此阶段应关闭 $397\mathrm{~nm}$、$866\mathrm{~nm}$、$854\mathrm{~nm}$ 激光。
3. 在随后的探测阶段，我们将对探测阶段钟跃迁效果进行评估。在该阶段，我们仅仅开启 $397\mathrm{~nm}$、$866\mathrm{~nm}$ 的冷却光与回泵光，并记录产生的荧光大小。被激发到 $3{^2}\mathrm{D}_{5/2}$ 态的离子无法发出荧光信号，因此此时的荧光大小便可以反映上阶段的钟激发大小。

$\quad$ 在探测阶段完成后，将再次进入下一个周期的准备阶段，就这样不断循环，直到收到终止信号（离子丢失或激光失锁）。为了保证激光完全关闭或打开，一个激光关闭和下一个激光打开之间，一般可以给约 $5\mathrm{~ms}$ 的等待时间。图 $2$ 是 $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 离子的一次钟跃迁探测的激光脉冲时序示意图^[1:1]。

# 钟跃迁的闭环锁定

$\quad$