# 多纵模激光器

# 自由运转的多纵模激光器

$\quad$ 对于光腔长度为 $L$ 的激光器，它的纵模特征频率间隔为（考虑在真空腔内）：

$$\Delta\nu = \nu_{q+1} - \nu_q = \frac{c}{2L} \tag{1}$$

虽然从腔的谐振理论上来说，只要是满足频率是 $\Delta\nu$ 整数倍的激光都能在该光腔钟输出。但是，激光的增益曲线无法覆盖所有频段，因此激光能够输出的频率范围是有限的，如图 $1$ 所示。

我们有不同的方法实现纵模的不同频率的单模输出，例如 F-P 标准具法：标准具的透过率半波宽比 $\Delta\nu_q$ 小得多，这样只要使处于中心频率的纵模与标准具最大透过率处的频率一致，便使得其他频率被抑制，实现单纵模的激光输出，如图 $2$ 所示。

$\quad$ 多纵模激光器与单纵模激光器相比，输出的频率就不再是单一的了。下面先来看看自由运的多纵模激光器。假设激光工作物质的净增益线宽内包含有 $N$ 个纵模，那么激光器输出的光波电场是 $N$ 个纵模电场之和，即：

$$E(t) = \sum_{q=0}^{N} E_q \cos{(\omega_qt+\varphi_q)} \tag{2}$$

在一般情况下，这 $N$ 个纵模的相位 $\varphi_q$ 之间是不相关的，且由于各种外界因素的影响，各自的 $\varphi_q$ 也不是稳定的，这样也就破坏了各纵模之间的相干条件。因此激光输出的总光场是各个不同频率光场的无规则叠加的结果，其光场强度也是随时间无规则起伏的，如图 $3$ 所示。这种杂乱的激光当然是没法用的！

# 锁模后的多纵模激光器

$\quad$ 导致自由运作的多模激光器杂乱的根本原因是各模式的相位不规则。那么如果采用适当的措施使这些各自独立的纵模在时间上同步，即把它们的相位相互关联起来，使之确立一定的线性关系，例如 $\varphi_{q+1}-\varphi_q=\text{constant}$，那么是否就能避免这一问题了呢？下面就来分析计算一下。
$\quad$ 为了运算方便，设多模激光器的所有模的振幅均为 $E_0$（尽管实际上当然不可能是这样的），超过阈值的纵模共有 $2N+1$ 个，其中中心模的角频率为 $\omega_c$，初相位为 $0$，各相邻模的初相位差为 $\alpha$，模频间隔为 $\Delta\omega$。那么总光场就可以写为：

$$\begin{aligned} E(t) =& \sum_{q=-N}^{N} E_0 \cos[(\omega_c+q\Delta\omega)t+q\alpha] \\ =& E_0 \cos(\omega_ct) + E_0 \bigg[ \cos(\omega_ct+\Delta\omega t+\alpha) + \cos(\omega_ct-\Delta\omega t-\alpha) \bigg] \\ &\quad+ E_0 \bigg[ \cos(\omega_ct+2\Delta\omega t+2\alpha) + \cos(\omega_ct-2\Delta\omega t-2\alpha) \bigg] \\ &\quad+\ \cdots \\ &\quad+ E_0 \bigg[ \cos(\omega_ct+N\Delta\omega t+N\alpha) + \cos(\omega_ct-N\Delta\omega t-N\alpha) \bigg] \\ =& E_0 \cos(\omega_ct) + 2E_0 \cos(\omega_ct) \cos(\Delta\omega t+\alpha) + \cdots + 2E_0 \cos(\omega_ct) \cos\left[N(\Delta\omega t+\alpha)\right] \\ =& E_0\cos(\omega_ct) \left[ 1+2\sum_{q=1}^N \cos[q(\Delta\omega t+\alpha)] \right] \\ =& E_0\cos(\omega_ct) \left[ 1+2\frac{\sin\left(\frac{1}{2}N\beta\right)\cos\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\beta\right)} \right] \textcolor{red}{\quad(设\beta=\Delta\omega t+\alpha)} \\ =& E_0\cos(\omega_ct) \left[ \frac{\cos(\frac{1}{2}N\beta)\sin\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]-\sin(\frac{1}{2}N\beta)\cos\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\beta\right)} + 2\frac{\sin\left(\frac{1}{2}N\beta\right)\cos\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\beta\right)} \right] \\ =& E_0\cos(\omega_ct)\left[ \frac{\cos(\frac{1}{2}N\beta)\sin\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]+\sin(\frac{1}{2}N\beta)\cos\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\beta\right)} \right] \\ =& E_0\cos(\omega_ct) \frac{\sin\left[\frac{1}{2}(2N+1)(\Delta\omega t+\alpha)\right]}{\sin\left[\frac{1}{2}(\Delta\omega t+\alpha)\right]} \end{aligned} \tag{3}$$

上式的推导利用到了三角函数关系：

$$\sum_{q=1}^N\cos(q\beta) = \frac{\sin\left(\frac{1}{2}N\beta\right)\cos\left[\frac{1}{2}(N+1)\beta\right]}{\sin\left(\frac{1}{2}\beta\right)} \tag{4}$$

设其波包振幅为：

$$A(t) = E_0\frac{\sin\left[\frac{1}{2}(2N+1)(\Delta\omega t+\alpha)\right]}{\sin\left[\frac{1}{2}(\Delta\omega t+\alpha)\right]} \tag{5}$$

那么 $(3)$ 式简写为：

$$E(t) = A(t)\cos(\omega_ct) \tag{6}$$

令频率间隔 $\Delta\omega=0.01\omega$，相邻初相位差 $\alpha=0$，并考虑 $N=21$，绘出 $(6)$ 式的时序脉冲序列如图 $4$ 所示。可见，此时它不再杂乱无章，而是成为一种有周期性的波包信号。

$\quad$ 可见，如果我们通过某种手段将激光器各模的相位按照 $\varphi_{q+1}-\varphi_q=\text{constant}$ 的关系锁定下来，那么我们将会得到脉冲极窄、峰值功率很高的光脉冲，此时这种激光器就叫锁模激光器，相应的技术称为 “锁模技术”。

# 锁模激光器的两个重要参数

$\quad$ 在锁模激光器的光谱中，存在有两个重要的参数：偏移频率 $f_{ceo}$，以及重复频率 $f_{rep}$。其中重复频率 $f_{rep}$ 好理解，它是各模的间隔频率，与腔长有关：

$$f_{rep} = \frac{v_g}{2L} = \frac{1}{T} \tag{7}$$

其中 $v_g$ 为群速度，与介质的折射率 $n$ 有关，$v_g=c/n$。$T$ 就是包络在光腔中往返一周的时间。
$\quad$ 而 $f_{ceo}$ 又怎么理解呢？由于激光腔内介质的色散现象，导致载波以相速度 $v_p$ 传播而包络以群速度 $v_g$ 传播，由于这两个速度不同，激光脉冲每在光腔中往返一周时，就会导致载波与包络产生相位差 $\Delta\phi$。如图 $5$ 所示。假若包络已完整地跑完光腔的一周，相位差完全坐落在 $(6)$ 式的代表载波的 $\cos$ 项中，即：

$$E(t=T) = A(T) \cos(\omega_cT+\Delta\phi) \tag{8}$$

注意上式可以说是 “结果性地” 或者是 “唯象地” 地引进 $\Delta\phi$，并没有从基本公式中推导得到的。

考虑光脉冲刚发出时刻的光场为：

$$E(t=0) = A(0)\cos(0) \tag{9}$$

$(8)$ 式和 $(9)$ 式分别是脉冲的包络刚跑完一周后回到出发点的光场，以及脉冲刚出发时的光场。我们要求两式要是相同的，即 $E(0)=E(T)$，这是因为只有这样腔里的光场才不会相互抵消。由于原本假设前提就是包络跑完了一周，所以包络肯定是重合的，即 $A(0)$ 与 $A(T)$ 是相同的。关键是要要求载波相等，即：

$$\omega_cT+\Delta\phi = 2\pi n \tag{10}$$

若此时我们仍然要求激光载波的频率是重复频率的整数倍，即 $\omega_c=2\pi nf_{rep}$，上式便可以写为：

$$2\pi n f_{rep} T + \Delta\phi = 2\pi n + \Delta\phi = 2\pi n'$$

$$\Longrightarrow \Delta\phi = 2\pi n'' \tag{11}$$

这相当于要求 $\Delta\phi$ 是 $2\pi$ 的整数倍，这显然不太可能这么巧合。因此，这种情况下，载波的频率就不太可能仍然是 $f_{rep}$ 的整数倍了，它要有一个偏移频率，即：

$$f_c = f_{ceo} + nf_{rep} \tag{12}$$

而偏移频率则满足：

$$\begin{aligned} & 2\pi(f_{ceo} + nf_{rep})T+\Delta\phi = 2\pi n' \\ \Longrightarrow& f_{ceo} = \frac{2\pi n''-\Delta\phi}{2\pi}f_{rep} =\alpha f_{rep} \end{aligned} \tag{13}$$

$\quad$ 总的来说，就由于色散原因，导致脉冲包络相对于载波存在一个延迟，便导致锁模激光器的各个模式频率都整体偏移了一些，各模的频率表示为：

$$f_n = f_{ceo} + nf_{rep} \tag{14}$$

# 光梳的实现

$\quad$ 那么回到本文的正题，光梳究竟是什么？简单来说，光梳，或光学频率梳的本质就是锁模激光器。只不过，只有通过某种方法确定并稳定了偏移频率 $f_{ceo}$ 和重复频率 $f_{rep}$ 的锁模激光器才能称之为光学频率梳。

# 偏移频率的确定与锁定

$\quad$ 偏移频率 $f_{ceo}$ 的值可以通过 “$f-2f$” 自参考的方法获得，如图 $6$ 所示。该方法的原理很简单：取 $f_N=f_{ceo}+Nf_{rep}$ 的频率经过倍频得到 $2f_N=2f_{ceo}+2Nf_{rep}$，之后与 $f_{2N}=f_{ceo}+2Nf_{rep}$ 进行拍频作频率差，从而得到 $f_{ceo}$。往往激光器的光谱范围不能覆盖 $f_N$ 的二倍频率 $f_{2N}$，因此需要利用光子晶体光纤来进行光谱展开。

$\quad$ 得到偏移频率 $f_{ceo}$ 后，便可以通过与其他参考频率（如氢钟等）进行对比，通过反馈系统便可以实现锁定。

# 重复频率的确定与锁定

$\quad$ 在飞秒光梳系统中，重复频率 $f_{rep}$ 约为百兆赫兹的量级，通过相邻两个纵模之间的频差信号可以较容易地探测到。但对于其锁定，则就要求很高了，因为 $f_n=f_{ceo}+nf_{rep}$，其中的 $n$ 为 $10^6$ 数量级的整数，$f_{rep}$ 锁定的好坏极大程度影响了光梳的好坏。因此重复频率的锁定更加复杂，具体方法为:...................(待补充)。

# 激光绝对频率测量

$\quad$ 在成功确定并锁定飞秒激光器的 $f_{ceo}$ 和 $f_{rep}$ 后，让它成功进化为飞秒光梳，我们便可以利用它实现某一激光的绝对频率测量。设待测激光频率为 $f_x$，利用待测激光与光梳的第 $N$ 各光梳齿进行拍频，便可表示为：

$$f_x = Nf_{rep}\pm f_{ceo} \pm f_b \tag{15}$$

其中 $f_b$ 为拍频得到的频率差，且 $f_{rep},f_{ceo},f_{b}$ 均设为正值。至于为什么 $f_{ceo}$ 和 $f_{b}$ 前面的符号会有正负？这是因为我们在现实世界中所测得的频率无从得知其究竟是正频率还是负频率。
$\quad$ 为了确定整数 $N$，以及 $f_{ceo},f_{b}$ 前的正负符号，可以利用商用的波长计进行粗略测量。许多商业波长计的频率测量不确定度可达 $10^{-8}$，这满足待测激光的粗测要求。