# 离子阱中的多普勒频移

$\quad$ 在实验室参考系 $S_1$ 下探测到的激光频率为 $\nu_l$，或者是激光自身的频率就是 $\nu_l$。离子在 Paul 阱中运动，相对离子静止的参考系 $S_2$，激光的频率受相对论性多普勒效应影响，即离子感受到的激光频率 $\nu_l'$ 为^[1]：

$$\nu_l' = \frac{1-\frac{v}{c}\cos\theta}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\nu_l = \frac{1-\frac{v_\parallel}{c}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\nu_l \tag{1-1}$$

其中，$c$ 表示光速，$v$ 表示离子速度相对于实验室参考系的绝对值，$v_\parallel$ 是离子沿着激光波矢的速度。
$\quad$ 在离子的光钟体系中，用离子的光跃迁频率 $\nu_0$ 作为频率标准，数字伺服系统只是保证离子感受到的激光频率 $\nu_l'=\nu_0$（当然还没有考虑其他的频移效应），这就导致了在实验室参考系下锁定的激光频率 $\nu_l$ 会有一个多普勒效应导致的、与离子运动速度有关的频率漂移：

$$\nu_l = \frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v_\parallel}{c}} \nu_0 \tag{1-2}$$

由于 $v\ll c$，将上式作泰勒展开，可以得到多普勒效应导致的分式频移：

$$\begin{aligned} \frac{\delta\nu}{\nu_0} &= \frac{\nu_l-\nu_0}{\nu_0} \\ &= \frac{v_\parallel}{c} - \frac{v^2}{2c^2} + \frac{v^2_\parallel}{c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^3}{c^3}\right) \\ &= \frac{v_\parallel}{c} - \frac{v^2_\bot}{2c^2} + \frac{v^2_\parallel}{2c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^3}{c^3}\right) \end{aligned} \tag{1-3}$$

但在实际应用中，讨论瞬时的频移没有意义。我们用一个 angle-brackets 符号表示在一次探测脉冲持续时间内的平均，通常认为是几个 $10\mathrm{~ms}$ 量级左右。因此，上式改写为：

$$\frac{\delta\nu}{\nu_0} = \frac{\braket{v_\parallel}}{c} - \frac{\braket{v^2_\bot}}{2c^2} + \frac{\braket{v^2_\parallel}}{2c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^3}{c^3}\right) \tag{1-4}$$

$\quad$ 其中第一项描述的是一阶多普勒频移，它是由沿着激光方向的速度导致产生的。离子在阱中的宏运动与微运动的频率一般为几兆和十几兆赫兹的量级，明显在几十毫秒的探测脉冲下，离子能够完成成千上百次的振荡，这样看来 $\braket{v_\parallel}/c=0$。的确，快速振荡的宏运动与微运动的时间平均不会导致净一阶多普勒频率，即 $\braket{v_\parallel}/c$。只有每一次测量时，离子的出现位置变化才是重要的。
$\quad$ 第二项是二阶多普勒频移，也称横向多普勒频移，它是爱因斯坦狭义相对论的结果。它是由垂直激光波矢方向的速度导致的，由于横向多普勒频移导致离子感受到的激光频率增大了，所以换而言之，就会导致锁定的激光有一个净偏小的多普勒频移。
$\quad$ 那要问第三项呢？嗯～o (￣▽￣) o，我给一个解释就是：因为多普勒冷却，沿着激光方向的速度的作用已经是一个较小的值了，所以一般可以忽略。甚至我觉得可以这样认为：多普勒冷却之后，离子的速度由垂直方向的占据了主导地位，所以 $(1-3)$ 式只需推导到第二步，然后只保留到第二项，即 $\frac{\delta\nu}{\nu_0}\approx\frac{v_\parallel}{c}-\frac{v^2}{2c^2}$。第一项则认为是一阶多普勒频移，第二项认为是二阶多普勒频移。而且我后面讨论二阶多普勒频移时，也的确会将 $\frac{v^2_\bot}{2c^2}$ 近似为 $\frac{v^2}{2c^2}$。

$\quad$ 但值得一提的是，在参考文献^[2]中，它将多普勒分式频移写为：

$$\frac{\delta\nu}{\nu_0} = \frac{\braket{v_\parallel}}{c} - \frac{\braket{v^2}}{2c^2} + \frac{\braket{v_\parallel}^2}{2c^2} + \mathcal{O}\left(\frac{v^3}{c^3}\right) \tag{1-5}$$

好吧！我着实不清楚它是怎么推导出来的。不过关于第二项，原本应当是垂直方向的速度，而它是整体速度，并且我还参考了许多经典的文献，他们在计算二阶多普勒频移时，都是使用了整体速度。这样的做法与我的想法不谋而同了：多普勒冷却之后，离子主要的速度都是垂直方向上的速度，平行方向的速度已经被多普勒冷却减小成小量了，所以用整体速度代替垂直方向的速度应该问题不大。除此之外，对于第三项的不同，我就无法理解了，这里就留一个坑日后有机会再填吧！

# 一阶多普勒频移

# 一阶多普勒频移导致的激光边带

$\quad$ 下面先来具体介绍离子阱中离子的一阶多普勒频移，它是一种离子沿着激光方向运动导致的频移。姑且假设激光沿着阱轴方向 $\vec{e}_z$，波矢为 $k_z$（当然实际上肯定不是沿着阱轴方向的，这只是为了简化计算）。那么激光在阱中心的光场为：

$$E(t) = E_0 \exp \left(i\omega t\right) \tag{2-1}$$

离子阱中囚禁离子的运动是由频率为 $\omega_i$ 的宏运动和频率近似为 $\omega$ 的微运动组成。若只考虑宏运动的情况，沿轴线方向离子运动方程为：

$$z = z_0\cos\omega_zt \tag{2-2}$$

那么当不同时刻激光照射离子时，由于离子运动，所在光场位置变化，离子因此感受到的光场为：

$$\begin{aligned} E(t) &= E_0 \exp\left[i(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r})\right] = E_0 \exp\left[i(\omega t-k_zz_0\cos\omega_zt)\right] = E_0 \exp\left[i(\omega t-\beta\cos\omega_zt)\right] \end{aligned} \tag{2-3}$$

其中 $\beta=k_zz_0$ 此外宏运动调制系数。根据公式：

$$e^{ix\cos\varphi} = \sum_{m=-\infin}^{+\infin} i^m J_m(x) e^{im\varphi} \tag{2-4}$$

因此，$(1-3)$ 式可化简为：

$$E(t) = E_0 \sum_{n=-\infin}^{+\infin} i^n J_n(\beta) \exp\left[i(\omega-n\omega_z)t\right] \tag{2-5}$$

可见，此时离子感受到的激光是一种被调制的激光：除了频率为 $\omega$ 的载波之外，还拥有频率间隔为 $n\omega_z$ 多级调制边带，每级对应的强度为 $E_0^2J_n^2(\beta)$。

# 一阶多普勒频移对离子跃迁的影响

$\quad$ 可回顾高等原子分子物理 - 第一章 - 孤立二能级原子跃迁的笔记，对于激光作用下的二能级系统，其稳定后的激发态布局概率为：

$$\rho_{ee} = \frac{\Omega_R^2}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega_R^2} \tag{2-6}$$

其中 $\Omega_R=-\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0/\hbar$ 为 Rabi 频率，$\delta$ 为失谐量，$\Gamma$ 为二能级谱线的自然线宽。因此将 $(2-5)$ 式描述的多种频率激光代入 $(2-6)$ 式可得：

$$\begin{aligned} \rho_{ee} = \sum_{n=-\infin}^{+\infin} \frac{\Omega_R^2J_n^2(\beta)}{4(\omega-n\omega_z-\omega_0)^2+\Gamma^2+2\Omega_R^2} \end{aligned} \tag{2-7}$$

其中 $\omega_0$ 是二能级吸收跃迁的频率。
$\quad$ 但想要进行数值计算，需要计算 Rabi 频率，这是是麻烦的。利用饱和参数 $s$^[3]：

$$s = \frac{I}{I_{sat}} = \frac{2\Omega_R^2}{\Gamma^2} \tag{2-8}$$

$$I_{sat} = \frac{\pi}{3} \frac{hc}{\lambda^3\tau} \tag{2-9}$$

可以将 $(2-7)$ 式改写为：

$$\rho_{ee} = \frac{s}{2} \sum_{n=-\infin}^{+\infin} \frac{J_n^2(\beta)}{4(\frac{\omega-n\omega_z-\omega_0}{\Gamma})^2+1+s} \tag{2-9}$$

当然上式是简化实际条件得出来的，事实上，激光并不沿着轴线方向，离子除了宏运动之外还有微运动要考虑，因此实际中的 $(2-9)$ 式要更复杂一些。但我们也可以重新理解上式的两个参数，来分析不同运动对布局数的影响：现在，我们把上式中的 $\omega_z$ 认为离子某一方向的运动频率（宏运动或微运动），$\beta$ 认为是该方向的激光波矢与离子运动幅度的乘积。
$\quad$ 下面来几个具体例子算算。

# 钙离子阱系统的泵浦光

$\quad$ 在 $^{40}\mathrm{Ca}^+$ 离子阱系统中，$866\mathrm{~nm}$ 激光作为冷却过程中的泵浦光，其自然线宽为 $2\pi\times 2\mathrm{~MHz}$。离子微运动频率假设为 $2\pi\times 10.15\mathrm{~MHz}$，若在 $\omega-\omega_0\in(-100,100)\mathrm{~MHz}$ 内扫频，且激光强度远大于饱和强度（设 $s=10$），那么结果如图 $1$ 所示。

$\quad$ 从上图能级谱线来看，对于 866nm 跃迁吸收来说，当 $\beta\ge1$ 时，吸收边带比较明显；当 $\beta\le1$ 时，虽然还能看到一阶边带，但以及逐渐不明显了；当 $\beta=0.1$ 时，边带已经完全消失了，此时就可以认为对于该跃迁，一阶多普勒频移的影响就消除了。

# 镱离子阱系统的冷却光

$\quad$ 在 $^{171}\mathrm{Yb}^+$ 离子阱系统中，$369~\mathrm{nm}$ 激光作为冷却光，其自然线宽为 $2\pi\times 19.7\mathrm{~MHz}$。仍然假设离子微运动频率为 $2\pi\times 10.15\mathrm{~MHz}$，在 $\pm 100\mathrm{~MHz}$ 范围内扫频，光饱和强度仍然设为 $s=5$。最终计算结果如图 $2$ 所示。

$\quad$ 从上图中基本看不出明显的吸收边带，这是由于该跃迁的自然线宽远大于离子运动的频率，较大的半波宽足以 “掩盖掉” 吸收边带。但也可以看到，当 $\beta$ 较大时，也就是离子运动幅度较大时，吸收强度低，冷却效率也就低。
$\quad$ 另外，在 $\beta=5$ 时，也许很勉强能够看到两个峰。若这种情况更加明显一些，就可能会导致局部加热和局部冷却的情况出现。图 $3$ 是在别的论文中更加明显的示意图^{[4] [5]}。（它这个结果我没能仿真出来）

# 镱离子阱系统的钟激光

$\quad$ 在 $^{171}\mathrm{Yb}^+$ 离子阱的光钟系统中，435.5nm 的激光用于激发 $^2S_{1/2}(F=0)\rightarrow {^2}D_{3/2}(F=2)$ 的电四极钟跃迁。作为钟跃迁参考谱线，它的自然线宽微 $2\pi\times 3 \mathrm{~Hz}$。若考虑它的运动频率 $2\pi\times 1 \mathrm{~MHz}$，光饱和强度 $s=5$。可以计算的它的吸收谱线如图 $4$ 所示。

$\quad$ 就如上图所看到的，由于钟跃迁的自然线宽很窄，远远小于了离子运动频率，这时只要 $\beta$ 并不足够小，都能明显地看到吸收边带。
$\quad$ 我的理解是：由于钟跃迁的吸收边带是 “独立开的”，我们可以明显地区分哪个才是我们想要的共振吸收，并将激光锁定在这一频率上。所以在离子光钟系统中，其实没太大必要考虑一阶多普勒频移的影响（因为我们可以区分这些频移），但我们还是要让 $\beta$ 小一些（这样共振吸收处的跃迁强度才会大）。

$\quad$ 值得注意的是，上述我们所有的讨论，都是十分简化了的。首先我们只考虑了一种运动（宏运动或微运动），理论上两种运动都要考虑，这就会更加复杂。其次，我们假设了激光方向就是阱轴方向，实际情况当然不是这样的。激光会与阱的径向和轴向均成一定角度，这样计算下来，就不仅仅会有轴向运动频率相关的 $n\omega_z$ 边带，还会有径向运动频率相关的 $n\omega_r$ 边带。文献^[6]中就展示了实际测量的一个吸收谱线，如图 $5$ 所示。

# Lamb-Dcike 区

$\quad$ 如图 $2、3、4$ 所看到的，当 $\beta\ll1$ 时，基本可以消除一阶多普勒频移导致的吸收边带，而且也能得到较高的跃迁强度。而 $\beta$ 是什么？它是离子的运动调制系数。在上面假设下的推导中，$\beta=k_zz_0$。所以 $\beta\ll1$ 也就意味着离子运动的幅度小于激光的一个波长范围内。当我们把离子的运动幅度压缩到激光的一个波长范围内时，就称为离子在 Lamb-Dcike 区 内运动了。
$\quad$ 这样只定义与解释 Lamb-Dcike 区其实是一种经典（也可以是是半经典）的方法，实际上离子在阱中的运动是量子化的。更严格地判断离子是否处于 Lamb-Dcike 区，要通过测量并计算离子振动量子数的方法。这一部分内容以后有机会再写。

# 二阶多普勒频移

$\quad$ 正如前面所述

# 参考文献