# 序言

$\quad$ 在量子光学、量子通讯、引力波探测以及精密光谱和光钟的实验系统中，获得长期频率稳定的激光源十分重要。
$\quad$ 所谓的激光稳频技术其实就是：选取一个稳定的参考频率标准，当待锁定的激光频率偏离特定的频率标准时，设法进行鉴别并产生能反映这种偏差的误差信号，然后将误差信号通过伺服系统反馈给待锁定的激光系统。常用的参考频率标准大致可分为两类：一类是以原子分子的跃迁谱线中心频率作为参考标准；另一类是以光学谐振腔的共振频率作为参考标准。实现激光稳频的方法有多种，如基于原子分子跃迁谱线的饱和吸收谱稳频法、调制转移光谱稳频法、双色谱稳频法等；基于光学谐振腔共振频率的 PDH（Pound-Drever-Hall）稳频法、Lock-in 鉴相稳频法、Tilt-locking 稳频法等^[1]。

$\quad$ 这段时间在武汉实习的工作就是帮忙搭建基于 ULE 超稳腔的 $\mathrm{~nm}$ 激光稳频系统。采用的稳频方法是 PDH 稳频。于是就写了这一篇关于 PDH 稳频的学习笔记。本文的关键原理部分主要参考了文献^[2]。
$\quad$ 这篇文章我将主要写原理方面的介绍。关于实际操作，在完成该激光稳频系统的搭建工作后，我再写一篇文章具体介绍（如果我能参与搭建并直到全部完成的话......）。

# PDH 稳频技术起源历史

$\quad$ 上世纪八十年代，在 LIGO 引力波探测项目中，Drever 与 Hall 教授将 Pound 在 1946 年提出的微波稳频方案扩展应用至光频领域，首次利用射频相位调制和光电伺服反馈控制系统将染料激光器的输出频率锁定在 F-P 腔的共振频率上，实现了激光频率稳定输出，获得了线宽小于 $100\mathrm{~Hz}$ 的稳频激光^[3]。因此人们用 Pound 、Drever 和 Hall 这三位科学家的名字来命名这项稳频技术，即 PDH 稳频技术。PDH 稳频技术具有伺服响应快、噪声低等特点，是目前稳频技术中应用最广泛、稳频效果最优异的技术方法之一。另外，值得一提的是，LIGO 是激光干涉引力波天文台（The Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory）的简称。也正是该天文台，在 2015 年 9 月 14 日首次成功探测到了引力波。

# 法布里 - 珀罗干涉仪

$\quad$ 超稳腔其实就是一个法布里 - 珀罗干涉仪，即 F-P 腔。在讨论 PDH 稳频原理之前，先来复习一下本科光学课程中学习过的 F-P 腔多光束干涉。

# F-P 腔的透射干涉

$\quad$ 设 F-P 腔的高反镜面的反射系数为 $r$，它等于透射光与反射光的振幅之比，即：$r=E_{r}/E_{in}$。相应的透射系数就为 $\sqrt{1-r^2}$。若 F_P 的入射光幅值为 $E_0$，则多级透射光的幅值依次为：

$$\begin{aligned} E_{t1} &= (1-r^2)E_0 \\ E_{t2} &= r^2(1-r^2)E_0 \\ E_{t3} &= r^4(1-r^2)E_0 \\ & \cdots\ \cdots \end{aligned}$$

利用一些初中几何知识以及透射定理 $n\sin\theta_{i}=n_0\sin\theta_{t}$，可以推导得到相邻两束透射光的光程差为：

$$\Lambda = 2n_0d\cos\theta_t \tag{1}$$

相位差为：

$$\delta = k_0\Lambda = 2k_0n_0d\cos\theta_t \tag{2}$$

注意：相邻的两次透射直接存在两次反射，半波损失被抵消掉（或根本没有）。另外，超稳腔内部是抽真空的，因此内外的折射率都可以认为是真空折射率 $n_0$，且一般入射角 $\theta_i=0$。
$\quad$ 若设第一束透射光的初相位为 $0$，则各级透射光的初相位依次可以表示为：$0,\ \delta,\ 2\delta,\ \cdots$。透射光的合成振幅可以表示为：

$$\begin{aligned} E_t &= E_{t1} + E_{t2} + E_{t3} + \cdots \\ &= (1-r^2)E_0e^{i0} + r^2(1-r)E_0e^{i\delta} + r^4(1-r)E_0e^{i2\delta} + \cdots \\ &= (1-r^2)E_0 \left(1+r^2e^{i\delta}+r^4e^{i2\delta}+\cdots\right) \\ &= \frac{1-r^2}{1-r^2e^{i\delta}}E_0 \end{aligned} \tag{3}$$

那么透射光的合成光强为：

$$\begin{aligned} I_t &= |E_t|^2 = \frac{(1-r^2)}{1-r^2e^{i\delta}} \frac{(1-r^2)}{1-r^2e^{-i\delta}}E_0^2 = \frac{I_0}{1+\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2\sin^2\frac{\delta}{2}} \end{aligned} \tag{4}$$

其中 $\mathcal{F}=\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2$ 是 F-P 腔的精细度。它对 F-P 腔的线宽影响如图 $2$ 所示。最理想的情况就是 $r=1$，产生精细度无限大，线宽为零。

# F-P 腔的反射干涉

$\quad$ 考虑到每次反射带来的半波损失，并设 $E_{r1}$ 的反射前初相位为零，则多级反射光依次为：

$$\begin{aligned} E_{r1} &= rE_0\\ E_{r2} &= r(1-r^2)E_0 e^{i(\delta+\pi)} \\ E_{r3} &= r^3(1-r^2)E_0 e^{i(2\delta+\pi)} \\ & \cdots\ \cdots \end{aligned}$$

注意半波损失发生在光疏物质射到光密物质时反射的，F-P 腔外部是空气，内部是真空，因此一级反射没有半波损失。合成反射光为：

$$\begin{aligned} E_r &= E_{r1} + E_{r2} + E_{r3} + \cdots \\ &= rE_0 + r(1-r^2)E_0 e^{i(\delta+\pi)}\left( 1+r^2e^{i\delta}+r^4e^{i2\delta}+\cdots \right) \\ &= rE_0 - r(1-r^2)E_0 e^{i\delta} \frac{1}{1-r^2e^{i\delta}} \\ &= rE_0 \frac{1-r^2e^{i\delta}-(1-r^2)e^{i\delta}}{1-r^2e^{i\delta}} \\ &= rE_0 \frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2e^{i\delta}} \end{aligned} \tag{5}$$

那么反射光的合成光强为：

$$I_r = |E_r|^2 = \frac{\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2\sin^2\frac{\delta}{2}}{1+\left(\frac{2r}{1-r^2}\right)^2\sin^2\frac{\delta}{2}} I_0 \tag{6}$$

可见，$I_r+I_t=I_0$，反射光的光强图像恰好与透射光互补，如图 $3$ 所示。

# 小总结

$\quad$ 若入射激光与腔长匹配，理论上反射的多级光就会相干抵消。在这种情况下就没有光的反射，所有的能量都用于透射了。利用到这一点，理论上可以通过检测反射光的光强大小，从而近似负反馈，实现激光的频率锁定。
$\quad$ 但实际上若直接利用反射光光强作为判断依据，会出现许多问题，例如反应的灵敏度低，无从得知此时的频率是偏大还是偏小等。
$\quad$ PDH 稳频则是通过对反射光进行拍频、解调、滤波等处理，得到更好的判断信号，再以此快反与慢反调节激光频率，实现激光频率的锁定。下面就来具体介绍一下 PDH 稳频的原理。

# PDH 稳频原理

$\quad$ PDH 稳频技术也叫作相位调制光外差稳频技术。图 $4$ 中展示了 PDH 稳频系统一般的结构图：激光通过光隔离器和 EOM 后注入光学谐振腔，通过四分之一波片和 PBS 提取腔的反射光，并利用 PD 探测其拍频信号。PD 输出的电信号和另一路射频信号经相移器后一起输入混频器。混频器解调信号再通过低通滤波器后得到具备鉴频特性的误差信号。误差信号通过比例积分微分控制器（PID）和高压放大器反馈到激光器的压电陶瓷上。通过压电陶瓷精细调整激光器的腔长，从而将激光器的激光频率锁定在光学谐振腔的共振频率上。

# 激光的 EOM 边带调制

$\quad$ 入射激光 $E_0e^{i\omega t}$ 经过 EOM 会进行边带调制，叠加上多级的边带频率。若只考虑 $1$ 级与 $-1$ 级的边带，则激光近似为：

$$\begin{aligned} E_{inc} &= E_0e^{i(\omega t+\beta\sin\Omega t)} \\ &\approx E_0\left[J_0(\beta)e^{i\omega t}+J_1(\beta)e^{i(\omega+\Omega)t}-J_1(\beta)e^{i(\omega-\Omega)t}\right] \end{aligned} \tag{7}$$

其中利用到了：

$$e^{i\beta\sin\varphi} = \sum_{m=-\infin}^{+\infin} J_m(\beta) e^{im\varphi} \tag{8}$$

$$J_{-m} = (-1)^m J_m \tag{9}$$

$\quad$ 激光的总功率为 $P_0\equiv|E_0|^2$。忽略一些干涉的影响，激光的载波（carrier）的功率为：

$$P_c = J^2_0(\beta)P_0 \tag{10}$$

每个一级边带（first-order sideband）的功率为：

$$P_s = J^2_1(\beta)P_0 \tag{11}$$

# 被调制激光的反射：误差信号

$\quad$ 在 $(5)$ 式中，我们推导了 F-P 腔的反射光振幅公式，由此我们知道反射振幅与入射振幅之比为：

$$F(\omega) = \frac{E_r}{E_0} = r \frac{1-e^{i\delta}}{1-r^2e^{i\delta}} \tag{12}$$

其中由于是垂直入射，可以将 $\delta$ 改写为 $\omega/\Delta\nu_{fsr}$。其中 $\Delta\nu_{fsr}=c/2L$ 是自由光谱范围（free spectral range），$L$ 为腔长。自由光谱范围的物理意义也很明确：每相隔一个 $\Delta\nu_{fsr}$，就有一次反射光的极大值。由此 $(12)$ 式改写为：

$$F(\omega) = r \frac{1-e^{i\frac{\omega}{\Delta\nu_{fsr}}}}{1-r^2e^{i\frac{\omega}{\Delta\nu_{fsr}}}} \tag{13}$$

但是呢～～在许多文献中，包括我导师的博士论文中，$(13)$ 式多一个负号：

$$F(\omega) = r \frac{e^{i\frac{\omega}{\Delta\nu_{fsr}}}-1}{1-r^2e^{i\frac{\omega}{\Delta\nu_{fsr}}}} \tag{14}$$

这并不是什么大问题，只不过在 $(5)$ 式推导反射光时，我考虑的是第一级反射没有半波损失，而后面高阶项都有半波损失。而 $(14)$ 式的结果恰好相反罢了。这只是一个很小的问题，不过为了与文献对应，我下面的推导还是采用 $(14)$ 式的形式。

$\quad$ 利用 $(7)(10)(11)(14)$ 式，从腔反射出来作为参考的信号表示为：

$$\begin{aligned} E_{ref} &= E_0 \left[F(\omega)J_0(\beta)e^{i\omega t}+F(\omega+\Omega)J_1(\beta)e^{i(\omega+\Omega)t}-F(\omega-\Omega)J_1(\beta)e^{i(\omega-\Omega)t}\right] \\ &= \sqrt{P_c}F(\omega)e^{i\omega t} + \sqrt{P_s}F(\omega+\Omega)e^{i(\omega+\Omega)t} - \sqrt{P_s}F(\omega-\Omega)e^{i(\omega-\Omega)t} \end{aligned} \tag{15}$$

反射光进入到 PD，而 PD 探测到的是光强，为：

$$\begin{aligned} P_{ref} &= |E_{ref}|^2 \\ &= P_c|F(\omega)|^2 + P_s|F(\omega+\Omega)|^2 + P_s|F(\omega-\Omega)|^2 \\ &\quad+ \sqrt{P_cP_s}F(\omega)F^*(\omega+\Omega)e^{-i\Omega t} - \sqrt{P_cP_s}F(\omega)F^*(\omega-\Omega)e^{i\Omega t} \\ &\quad+ \sqrt{P_cP_s}F^*(\omega)F(\omega+\Omega)e^{i\Omega t} - P_cF(\omega+\Omega)F^*(\omega-\Omega)e^{i2\Omega t} \\ &\quad- \sqrt{P_cP_s}F^*(\omega)F(\omega-\Omega)e^{-i\Omega t} - P_cF^*(\omega+\Omega)F(\omega-\Omega)e^{-i2\Omega t} \\ &= 2\sqrt{P_cP_s}\left\{\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)e^{-i\Omega t}\right] - \mathrm{Re}\left[F^*(\omega)F(\omega-\Omega)e^{-i\Omega t}\right] \right\} \\ &\quad+ \{\text{DC terms}\} + \{2\Omega\ \text{terms}\} \\ &= 2\sqrt{P_cP_s} \Big\{\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)\right]\cos(\Omega t) - \mathrm{Im}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)\right]\sin(\Omega t) \Big\} \\ &\quad- 2\sqrt{P_cP_s} \Big\{\mathrm{Re}\left[F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]\cos(\Omega t) - \mathrm{Im}\left[F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]\sin(\Omega t) \Big\} \\ &\quad+ \{\text{DC terms}\} + \{2\Omega\ \text{terms}\} \\ &= 2\sqrt{P_cP_s} \Big\{\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]\cos(\Omega t) \\ &\quad- \mathrm{Im}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]\sin(\Omega t) \Big\} + \{\text{DC terms}\} + \{2\Omega\ \text{terms}\} \end{aligned} \tag{16}$$

其中的直流项与高频项在后续的滤波中会被消除。我们感兴趣的只有 $\sin\Omega t$ 和 $\cos \Omega t$ 的项。回顾一下高中的三角函数辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，其中 $\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，并约定 $-\pi\le\varphi<\pi$。利用三角函数的辅助角公式，并且忽略直流项与高频项，可得：

$$P_{ref} = 2A\sqrt{P_cP_s} \sin(\Omega t+\varphi) \tag{17}$$

其中：

$$A = \big|F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\big| \tag{18}$$

$$\begin{cases} \cos\varphi &= -\frac{\mathrm{Im}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}{A} \\\\ \sin\varphi &= \frac{\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}{A} \end{cases} \tag{19}$$

$\quad$ 利用混频器将频率也为 $\Omega$ 的正弦波 $\sin(\Omega t+\phi)$ 与 PD 的输出信号进行混频。结合 $(17)$ 式，可以得到混频后的信号为：

$$\begin{aligned} S &= 2A\sqrt{P_cP_s} \sin(\Omega t+\varphi)\sin(\Omega t+\phi) \\ &= A\sqrt{P_cP_s} \left[ \cos(\varphi-\phi) - \cos(2\Omega t+\varphi+\phi) \right] \end{aligned} \tag{20}$$

其中通过混频器和低通滤波器后，上式的第二项以及 $(16)$ 式的直流项和高频项均被滤除。仅有上式的第一项被保留，并以它作为误差信号来作为参考，以此调节激光实现稳频。误差信号就为：

$$\begin{aligned} \epsilon &= A\sqrt{P_cP_s}\cos(\varphi-\phi) = A\sqrt{P_cP_s}\left(\cos\varphi\cos\phi+\sin\varphi\sin\phi\right) \\ &= A\sqrt{P_cP_s} \left(\frac{\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}{A}\sin\phi-\frac{\mathrm{Im}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}{A}\cos\phi\right) \\ &= \sqrt{P_cP_s}\left({\mathrm{Re}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}\sin\phi-{\mathrm{Im}\left[F(\omega)F^*(\omega+\Omega)-F^*(\omega)F(\omega-\Omega)\right]}\cos\phi\right) \end{aligned} \tag{21}$$

$\quad$ 图 $5$ 就是误差信号，参数为：$r=0.98$，$\omega=2\pi\times\frac{c}{935\mathrm{~nm}}$，$L=1.87\mathrm{~m}$，$\Omega=2\pi\times19.8\mathrm{~MHz}$。其中利用混频器可以改变混频的相差 $\phi$，但往往这是非必要的。因为在实验中，混频的信号源其实就是利用了驱动 EOM 的信号源，因此 $\phi=0$。图 $5$ 就是 $\phi=0$ 的情况。可见当激光频率在腔共振频率的附近时，曲线近似为一个斜率很多的线性函数，这十分有利于作为误差信号，并反馈用 PID 控制稳频。
$\quad$ 当有时候因为误差等原因，会出现相移的情况，这时曲线就显得不完美。如何才能得到想要的误差信号，一般是调节混频器前端两路信号的相位，使得相位匹配，即调节使得 $\phi=0$。通常我们是通过使用相移器或者延长混频器前单路信号的同轴线来调节相位的，函数信号发生器也可以直接调节相位。图 $6$ 展示了不同相移对曲线的影响。

# 快反馈与慢反馈

$\quad$ 获得误差信号后，反馈到激光器的 PZT 以及光路中的 AOM，根据相应带宽不同，慢环低频部分反馈给 PZT，而快环高频部分反馈给 AOM，最终实现激光器频率压窄的效果。

# 参考文献