# 原文与摘要翻译

$\quad$ 使用 Paul 阱囚禁离子需要一个稳定的、高电压低噪声的射频电势。我们提出了一种螺旋谐振器的设计和搭建指南，该指南可以在实验条件的限制下使品质因子最大化。我们通过将被屏蔽的螺旋线圈与离子阱视作集成元素模型，对系统进行深入的分析。这使得我们能够根据谐振器的物理参数和离子阱的特性来预测谐振频率和品质因子。我们还比较了不同谐振器的理论预测和实验数据，并预测了射频电压作为品质因子 $Q$、输入功率和谐振电路特性的函数。

# 串联 RLC 电路复习

$\quad$ 在正弦波电压下，电容和电感的阻抗分别为：

$$Z_C = \frac{1}{i\omega C} \tag{1}$$

$$Z_L = i\omega L \tag{2}$$

因此，该电路的总阻抗为：

$$Z_\text{total} = Z_C + Z_L + R \tag{3}$$

当电路谐振时，也就是电容阻抗和电感阻抗刚好相互抵消时，即 $Z_C+Z_L=0$。此时对应的频率则称为谐振频率 $f_0$：

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \tag{4}$$

当电路谐振时，总阻抗的模最小，也就是说电路电流的模最大，电容、电感的分压的模也就最大。所以在离子阱与谐振器组成的 RLC 电路中，希望电路能够谐振，这样作为电容的离子阱就能有更大的分压。
$\quad$ 电流幅度的频率响应与串联谐振电路中谐振的 “锐度” 有关。峰值的锐度是定量测量的，称为电路的品质因数 $Q$。品质因数将电路中存储的最大或峰值能量（电容、电感）与每个振荡周期期间消耗的能量（电阻）相关联，这意味着它是谐振频率与带宽的比值，电路 $Q$ 越高，越小带宽。

品质因子 Q 可以定义为谐振频率比上半峰宽：

$$Q = \frac{f_0}{\Delta f} \tag{5}$$

对于串联谐振电路来说，Q 的直接计算公式为：

$$Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}} \tag{6}$$

# 基本介绍

$\quad$ 使用 Paul 阱囚禁离子需要一个稳定的、低噪声的高压射频信号。若射频电源通过射频放大器直接连接到阱上，将会引发多种问题：射频放大器与离子阱之间的阻抗不匹配会导致信号从离子阱反射回来，从而使得大量功率耗散在放大器的输出阻抗上。并且射频放大器还会向离子阱注入噪声，这会增强离子在阱中的加热效应^[1]。
$\quad$ 为了避免这些问题，可以采用了螺旋谐振器型射频源。螺旋谐振器的结构比较简单，如图 3 所示，它主要由屏蔽筒、天线线圈以及主线圈组成。整个射频电路的连接方式如图 4 所示：信号发生器输出的信号通过射频放大器进行放大，经过定向耦合器连接至螺旋谐振器上，螺旋谐振器通过馈通连接至真空腔中的离子阱电极上。同时采用频谱分析仪对射频场耦合情况进行检测。
$\quad$ 离子阱可以视作是一个容性负载，整个电路可视作一个 RLC 振荡电路。由于螺旋线圈就是个低电容、低电阻的电感器件，这不仅使得离子阱以及其连接的电阻、电感能够占据电路 $R$ 与 $C$ 的主导地位，并且赋予整个 RLC 电路系统较高的品质因子 $Q$，从而有效减少射频放大器带来的噪声。此外，通过调节天线线圈的物理参数（如线圈匝数、直径和螺距）以及调整天线线圈与主线圈之间的距离，可以实现射频放大器与螺旋谐振器的阻抗匹配，进而降低反射功率。然而，在实际操作中，频繁更换天线线圈和不断调节两者间距将是一项繁琐的任务。

# 阻抗匹配

$\quad$ 考虑一个高中就学过的问题，如图 5 所示，$U_s$ 为信号源电压，$R_s$ 为信号源内阻，$R_L$ 为负载电阻。那么在什么情况下能够使得信号源把最多的功率提供给负载呢？答案是：当信号源内阻与负载电阻相等的时候。

$\quad$ 现在我们考虑一个非纯电阻的情况。$V_s$ 为信号源电压，$Z_s=R_s+iX_s$ 为信号源阻抗，$Z=R+iX$ 为负载阻抗。

那么，此时电路中的电流为：

$$I = \frac{V_s}{Z_s+Z} = \frac{V_s}{(R_s+R)+i(X_s+X)} \tag{7}$$

电流的幅值为：

$$|I| = \frac{V_s}{\sqrt{(R_s+R)^2+(X_s+X)^2}} \tag{8}$$

那么负载处的功率应正比于：

$$P \propto I^2R = \frac{V_s^2R}{(R_s+R)^2+(X_s+X)^2} \tag{9}$$

要想其负载功率最大，则需要 $R_s=R$，$X_s=-X$。也就是说负载的电阻与信号源的电阻相等，负载的电抗与信号源的电抗抵消，此时负载的功率最大，这时也就称作负载与信号源阻抗匹配。

# 通过电感耦合进行阻抗匹配

$\quad$ 为了理解改变天线线圈的物理特性是如何实现阻抗匹配的，我们给出整个射频电路的等效电路图，如图 $7$ 所示。

其中 $L_1$ 为天线线圈电感；$L_2$ 为主线圈电感；射频放大器输出电压为 $V_s$，其阻抗为 $Z_0$；$Z_L$ 为离子阱阻抗。
$\quad$ 两个回路的电势差为：

$$V_1 = i\omega L_1 I_1 + i\omega M I_2 \tag{10}$$

$$V_2 = i\omega L_2 I_2 + i\omega M I_1 \tag{11}$$

其中 $M=k\sqrt{L_1L_2}$ 为两个线圈的互感，$k$ 为耦合系数。将螺旋谐振器与离子阱视作整体，其阻抗表示为 $Z_{in}$：

$$Z_{in} = \frac{V_1}{I_1} = i\omega L_1 + i\omega M \frac{I_2}{I_1} \tag{12}$$

且注意两个回路的电路方向是相反的（一顺一逆），别少写负号：

$$Z_L = -\frac{V_2}{I_2} = -(i\omega L_2 + i\omega M \frac{I_1}{I_2}) \tag{13}$$

利用 $(13)$ 式，将 $(12)$ 式中的 $I_2/I_1$ 替换，可得：

$$Z_{in} = i\omega L_1 + \frac{\omega^2M^2}{i\omega L_2+Z_L} \tag{14}$$

$\quad$ 我们可以将天线线圈的电感近似为 $L_1=\frac{\mu_0NA}{\tau}$。其中 $\tau$ 线圈螺距，$N$ 为线圈匝数，$A$ 为线圈横截面积，$\mu_0$ 为真空介电常数。由此，等价的整体阻抗可化为：

$$Z_{in} = \frac{\mu_0NA}{\tau} \left(i\omega+\frac{k^2L_2\omega^2}{i\omega L_2+Z_L}\right) \tag{15}$$

由 $(15)$ 式我们便可得，我们可以通过调制天线线圈的物理参数，即 $N,A,\tau$，以此改变 $Z_{in}$ 的阻抗，使得它与 $Z_0$ 实现阻抗匹配。

# 利用 RLC 电路模型描述谐振频率和 Q 因子

# 谐振频率

$\quad$ 为了计算 $Q$ 因子和谐振频率 $\omega_0$，将谐振器建模为集成元件电路，如图 $8$ 所示。

$Z_{coil}$ 是螺旋谐振器的等价阻抗：
$\qquad$ $R_c$ 是主线圈电阻
$\qquad$ $C_c$ 是主线圈自身电容
$\qquad$ $Z_M$ 是螺旋谐振器总阻抗：
$\qquad\qquad$ $L_c$ 是主线圈电感
$\qquad\qquad$ $L_a$ 是天线线圈电感
$\qquad\qquad$ $Z_0$ 是射频电压电源阻抗（一般为 $50\Omega$）
$Z_E$ 是实验系统的等价阻抗：
$\qquad$ $R_t$ 是离子阱电阻
$\qquad$ $C_t$ 是离子阱电容
$\qquad$ $X_R$ 是其他电容：
$\qquad\qquad$ $C_S$ 是屏蔽电容
$\qquad\qquad$ $C_w$ 是离子阱连接电容
$R_j$ 是螺旋线圈连接电阻
$R_s$ 是屏蔽电阻

$\quad$ $Z_0$，$L_a$ 和 $L_c$ 组成的等效阻抗 $Z_M$ 推导方法和 $(15)$ 式一样，于是有：

$$Z_M = iX_{L_c} + \frac{\omega^2M^2}{i\omega L_a+Z_0} \tag{16}$$

其中 $X_{L_c}=L_c\omega$ 是主线圈的电抗。对于离子囚禁频率，一般为：$\omega\approx 2\pi\times10 \text{MHz}\sim 2\pi\times 50\text{MHz}$，$L_c\approx L_a\approx1\text{mH}$，$Z_0=50\Omega$。一般耦合系数 $k\ll 1$，在这些数值条件下，满足：

$$Z_M \approx i X_{L_c} \tag{17}$$

计算 $Z_M$ 与 $R_c$ 串联后，再与 $C_c$ 组合的等效阻抗，即计算螺旋谐振器的阻抗 $Z_{coil}$ 为：

$$Z_{coil} = \left( \frac{1}{Z_M+R_c}+i\omega C_c \right)^{-1} \tag{18}$$

再计算离子阱实验系统的等效阻抗 $Z_E$：

$$Z_E = \left(i\omega(C_s+C_w)+\frac{1}{R_t+\frac{1}{i\omega C_t}}\right)^{-1} \tag{19}$$

$\quad$ 至此，整个电路的总阻抗 $Z_{tot}$ 可以被描述为：

$$Z_{tot} = Z_{coil} + Z_E +R_s+R_j \tag{20}$$

为了方便，我们写 $Z_{coil}=R_{coil}+iX_{coil}$，$Z_{E}=R_{E}+iX_{E}$。在整个 RLC 电路谐振时，$Z_{tot}$ 为纯电阻，即满足：

$$X_{coil}+X_{E} = 0 \tag{21}$$

结合 $(15)(16)(17)(18)(19)$，代入谐振条件 (21) 式，再进行一些近似（具体是怎么算出来的我没试过），总之可以得到谐振频率：

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{(C_s+C_t+C_w+C_c)L_c}} \tag{22}$$

# 经验性公式对谐振频率的预估

$\quad$ 当我们设计螺旋谐振器时，可以利用 $(22)$ 对所设计的谐振器的谐振频率进行预测，看看大概是否在所预期的工作频率内。为此，我们要大概知道 $C_s,C_t,C_w,C_c,L_c$ 这些值。在该文献中，他告诉了我们一些方法以及经验性的公式对这些参数进行预估。

$\quad$ 首先是导线与离子阱的电容 $C_{\sum}=C_w+C_t$，这取决于离子阱的配置和实验装置，可以用电容计在真空系统馈通处进行测量。离子阱的容值一般为 $5\sim 20\mathrm{~pF}$ ^[2]。
其他参数可以由谐振器的尺寸设计通过经验公式进行预估。

其中 $D$ 是屏蔽腔的直径；$B$ 是屏蔽腔的高度；$d$ 是主线圈的直径，$b$ 是主线圈的高度；$\tau$ 是螺距；$d_0$ 是线圈线径。下面所有经验公式都采用国际单位值。
$\quad$ 对于线圈的主线圈自身电容 $C_c$，有一道经验公式为：

$$C_c \approxeq (Hd)\times 10^{-12} \tag{23.a}$$

$$H = 11.26\frac{b}{d}+8+\frac{27}{\sqrt{b/d}} \mathrm{~F/m} \tag{23.b}$$

主线圈与屏蔽腔外壁之处产生的屏蔽电容 $C_s$ 的经验性公式为：

$$C_s \approx b K_{C_s}(d,D) \tag{24.a}$$

$$K_{C_s}(d,D) = 39.37 \frac{0.75}{\log(\frac{D}{d})} \times 10^{-12} \mathrm{~F/m} \tag{24.b}$$

当满足 $b/d>1$ 是，屏蔽腔内主线圈的电感由经验性公式给出：

$$L_C \approx b K_{L_C}(d,D,\tau) \tag{25.a}$$

$$K_{L_C}(d,D,\tau) = 39.37 \frac{0.025d^2\left(1-(\frac{d}{D})^2\right)}{\tau^2} \times 10^{-6} \mathrm{H/m} \tag{25.b}$$

当我们选定 $d,D,\tau$ 等参数，并测量了离子阱电容级导线的电容 $C_{\sum}=C_w+C_t$，我们变可以依据这些经验公式近似出谐振器要想在谐振频率 $\omega_0$ 下工作的线圈高度 $b$ (或线圈匝数 $N$) 大致需要多少了。

# 设计螺旋谐振器的一些建议

$\quad$ 该文献还给出了对于设计螺旋谐振器的一些经验上的建议：

• 应当使用高导电的材料来构建谐振器，例如铜。
• 主线圈的粗细应当合理设计，以提机器稳定性并减小线圈的电阻。如果用手绕制，建议使用直径为 $d_0\approx5\mathrm{~mm}$ 的导线。 （碎碎念：话说 $5\mathrm{~mm}$ 的铜线真的能用手绕吗？QwQ）
• 螺距尽量小而均匀。如果用手绕制，建议至小 $\tau\sim2d_0$。
• 通过上述的经验性公式设计线圈高度 $b$。
• 品质因子 $Q(d,d/D)$ 的等高线图可用于在尺寸约束下确定合适的 $d,D$ 参数。 (这一点在笔记中没体现出来，我也没看，以后若需要再看看原文吧QWQ)
• 线圈高度必须大于线圈直径，即$b/d>1$，这是经验性公式 $(25)$ 成立的条件。
• 屏蔽腔的高度建议为 $B=b+D/2$
• 螺旋谐振器与真空系统尽可能靠近地连接。
• 任何焊点都应具有低电阻。

# 参考文献

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1. QA T ,D K ,BE K , et al.Heating of trapped ions from the quantum ground state[J].Physical Review, A,2000,61(6):3418-1-3418-8. ↩︎

2. 郭天。离子阱可调射频场的设计与优化 [D]. 中山大学，2022 年. ↩︎