# 振荡的数学描述

# 理想中的谐振子

$\quad$ 理想的简谐振动我们通常用下式表示：

$$U(t) = U_0 \cos(\omega_0t+\phi) \tag{1.1.1}$$

其中 $\phi$ 称为初相位，$U_0$ 称为振幅，$\omega_0$ 称为角频率，$\nu_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$ 称为频率，$\varphi=\omega_0t+\phi$ 称为相位，$T=\frac{1}{\nu_0}$ 则为周期。
$\quad$ $(1.1.1)$ 式是描述理想谐振子微分方程的解。理想的谐振子很简单，我们考虑一个物体被一个弹簧连接，若弹簧被物体从平衡位置拉长了 $U$，则会有一个力试图把质量为 $m$ 拉回路：

$$F(t) = -DU(t) \quad (\text{胡克定律}) \tag{1.1.2}$$

那么这个物体所满足的牛顿微分方程即为：

$$\frac{d^2U(t)}{dt^2} + \omega_0^2 U(t) = 0 \quad \text{with}\quad \omega_0\equiv\sqrt{\frac{D}{m}} \tag{1.1.3}$$

我们很容易就能够验证 $(1.1.1)$ 就是 $(1.1.3)$ 的解。当然谐振子也不仅仅只局限于 “弹簧连小球” 这一个简单例子，如果我们选择一个电谐振电路为例，其包括一个电容为 $C$ 的电容器和一个电感为 $L$ 的线圈，那么其角频率将是 $\omega_0=1/\sqrt{LC}$。当我们考虑一个原子振荡器时，即二能级原子的 $\text{Rabi}$ 振荡，原子的布局数也会因为激光照成受激辐射与吸收跃迁也会在二能级直接发生简谐振荡。其谐振频率是由原子性质决定的，当然考虑这一物体的微分方程就不能是简单的 $(1.1.3)$ 式，而是采用了半经典的方程来解薛定谔方程，具体可回顾物理笔记 - 高等原子分子物理 - 第 1 章 孤立二能级原子跃迁。

$\quad$ 我们一般用 $(1.1.1)$ 式这样的余弦函数来表示谐振荡。当然我们也可用于正弦函数表示，这只不过是多了一个 $\pi/2$ 的相位而以。更一般的，每个简谐振动可以表示为相同频率的正弦函数与余弦函数的叠加，如下所示：

$$\begin{aligned} U(t) &= U_0\cos(\omega_0t+\phi) \\ &= U_0\cos\omega_0t\cos\phi-U_0\sin\omega_0t\sin\phi \\ &= U_{01}\cos\omega_0t - U_{02}\sin\cos\omega_0t \end{aligned} \tag{1.1.4}$$

其中两个参量 $U_{01}=U_0\cos\phi,\ U_{02}=U_0\sin\phi$ 被称为振荡的正交振幅。
$\quad$ 但由于计算正弦与余弦函数有时不太方便，因此我们采用了复指数欧拉公式来更加方便地描述简谐振荡：

$$\begin{aligned} U(t) &= \text{Re} \left\{U_0e^{i(\omega_0t+\phi)}\right\} = \text{Re} \left\{\tilde{U}_0e^{i\omega_0t}\right\} \\ &= \frac{\tilde{U}_0e^{i\omega_0t}+\tilde{U}^*_0e^{-i\omega_0t}}{2} \\ &= \frac{1}{2} \left(\tilde{U}_0e^{i\omega_0t}+\mathcal{c.c.}\right) \end{aligned} \tag{1.1.5}$$

其中 $\tilde{U}_0=U_0e^{i\phi}$；而 $\mathcal{c.c.}$ 是前面一项的复共轭的简写。许多情况下，为了简单起见，在复数计算过程中，通常不写成实部符号 $\text{Re}$，而只是在最终结果上去实部。但需要注意的是，这种操作仅适用于线性运算，例如和一个数的相加与相差、积分或微分，但不适用于非线性运算。这一点可以通过两个复数相乘就可以看出，一般情况下，$\text{Re}(A^2)\ne[\text{Re}(A)]^2$。

# 实际中的谐振子

$\quad$ 实际上，我们如何振荡器的振幅与频率都不是真正恒定的。一般来说，人们将振荡器振幅的任何时间变化称为振幅调制，将相位或频率的变化分别称为相位调制或频率调制。在后面，我们会更详细地研究振荡器的幅度和相位调制过程。
$\quad$ 对面一个振荡器，若振幅与相位都有一个随时间变化的小扰动，则信号可以写成：

$$U(t)=U_0(t)\cos\varphi(t)=\left[U_0+\Delta U_0(t)\right] \cos \left[\omega_0 t+\phi(t)\right] \tag{1.1.6}$$

那么该信号的瞬时频率为：

$$\nu(t) \equiv \frac{1}{2\pi} \frac{d\varphi(t)}{dt} = \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt}\left[2\pi\nu_0 t+\phi(t)\right] = \nu_0 + \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt} \tag{1.1.7}$$

因此，与理想的振荡器频率 $\nu_0$ 相比，实际上振荡器会有频率偏差：

$$\Delta\nu(t) \equiv \frac{1}{2\pi} \frac{d\phi(t)}{dt} \tag{1.1.8}$$

# 振幅调制