# 宏运动与微运动

$\quad$ 在这里，我们以四杆式线性 $\text{Paul}$ 阱为例，讨论离子在阱中的运动。其结果可以推广到其他类型的 $\text{Paul}$ 阱中。如果有几个离子同时储存在同一个阱中，则这里讨论的运动方程必须修改，但关于微运动及其影响的结论仍然有效。
$\quad$ $\text{Fig.1}$ 中展示了四杆式线性 $\text{Paul}$ 阱的原理图。电极$1$ 和$3$ 为接地极，电极$2$ 和$4$ 是交流电极 $V_0\cos(\omega t)$。一般来说，对于原子的离子，$\omega/2\pi>100\text{kHz},\ |V_0|<1000\text{V}$。在靠近 $z$ 轴线处，这些电极产生的电势为

$$V(x,y,t) = \frac{V_0}{2}\left(1+\frac{x^2-y^2}{R^2}\right)\cos(\omega t) \tag{1}$$

其中 $R$ 一般认为是阱轴到阱电极的垂直距离，虽然这默认了电极是无穷长的圆柱体，但这个条件导致的偏差不大。

$\quad$ 为了限制离子在轴向上的运动，在两端加上一对电势为 $U_0$ 的帽电极，其在阱中心处附近产生的电势为

$$U(x,y,z) = \frac{\kappa U_0}{Z_0^2}[z^2-\frac{1}{2}(x^2+y^2)] \tag{2}$$

其中 $\kappa(<1)$ 是几何结构因子，而 $Z_0$ 则是帽电极之间的最短距离。
$\quad$ 理论上四杆电极不是无穷长的，而且加入帽极后，交流电场一定会在 $z$ 轴方向上有分量。但这里为了简单起见，我们将这个在 $z$ 轴方向上小的交流电场分量忽略掉。结合 $(1)(2)$ 式，总的电场可以写为

$$\vec{E}(x,y,z,t) = -V_0\left(\frac{x\vec{e}_x-y\vec{e}_y}{R^2}\right)\cos(\omega t) - \frac{\kappa U_0}{Z_0^2}(2z\vec{e}_z-x\vec{e}_x-y\vec{e}_y) \tag{3}$$

对于质量为 $M$，电荷为 $Q$ 的离子，其运动方程为

$$M\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = Q\vec{E}(x,y,z,t)$$

$$\Downarrow$$

$$\begin{aligned} \text{X方向：}& \frac{dx^2}{dt^2} + \left(\frac{QV_0}{MR^2}\cos(\omega t) - \frac{Q\kappa U_0}{MZ_0^2}\right)x = 0 \\\\ \text{Y方向：}& \frac{dy^2}{dt^2} - \left(\frac{QV_0}{MR^2}\cos(\omega t) + \frac{Q\kappa U_0}{MZ_0^2}\right)y = 0 \\\\ \text{Z方向：}& \frac{dz^2}{dt^2} + \frac{2Q\kappa U_0}{MZ_0^2}z = 0 \end{aligned}$$

设无量纲参数：

$$a_x = a_y = -\frac{1}{2}a_z = -\frac{4Q\kappa U_0}{M\omega^2Z_0^2} \tag{4}$$

$$q_x = - q_y = \frac{2QV_0}{M\omega^2R^2} ;\quad q_z = 0 \tag{5}$$

可见 $a_i$ 参数与帽极的直流电压有关；而 $q$ 参数与交流电压有关，也正是因为在 $z$ 轴方向上的的交流电场我们忽略不计了，所以导致了 $q_z=0$。但我们现在是在四杆式阱中讨论，四个杆比较长，所以可以忽略 $z$ 方向上的交流电场，但如果是刀片型阱又会怎么样呢？
$\quad$ 利用所设的无量纲参数，运动方程可以化为如下的 $\text{Mathieu}$ 方程：

$$\ddot{r}_i + [a_i+2q_i\cos(\omega t)]\frac{\omega^2}{4}r_i = 0 \tag{6}$$

为了能使解是一个稳定解，我们对 $q_i,a_i$ 的取值有一定的范围要。一般来说，我们实验的参数要满足满足 $|q_i|\ll 1,|a_i|\ll 1$ ，此时保留一阶量，方程的解可写为：

$$r_i(t) = A_i \cos(\omega_it+\psi_i) \left[1+\frac{q_i}{2}\cos(\omega t)\right] \tag{7}$$

其中

$$\omega_i \approxeq \frac{1}{2}\omega\sqrt{a_i+\frac{1}{2}q_i^2} \tag{8}$$

$\psi_i$ 是由离子位置和速度的初始条件决定的相位。可见，离子的运动由两部分组成：一个是振幅较大的 $A_i$，频率为 $\omega_i$ 的宏运动；另一个是频率与交流电场一致的微运动。$\text{Fig.2}$ 展示了离子宏运动和微运动示意图。

$\quad$ 利用 $(7)(8)$ 式可以计算出原子在宏运动的一个周期内的平均动能

$$\begin{aligned} E_{k_i} = \frac{1}{2}M\braket{\dot{r}_i^2} &\approxeq \frac{1}{4}MA_i^2(\omega_i^2+\frac{1}{8}q_i^2\omega^2) \\ &\approxeq \frac{1}{4}MA_i^2\omega_i^2\left(1+\frac{q_i^2}{q_i^2+2a_i}\right) \end{aligned} \tag{9}$$

上式中的第一项是宏运动的动能，第二项是微运动的动能。对于 $z$ 轴方向，由于 $q_z=0$，因此该方向对应的动能完全由宏运动构成。如果定义该方向的 “温度”，则有：

$$E_{k_z} = \frac{1}{2}k_BT_z \approxeq \frac{1}{4}MA_z^2\omega_z^2 \tag{10}$$

上式中的 $T_z$ 就是动能 $E_{k_z}$ 对应的特征温度。通常来说，实验中满足条件 $|a_i|\ll q_i^2\ (i=x,y)$。因此径方向上的可认为宏运动动能约等于微运动动能。而径方向上的特征温为：

$$E_{k_i} = \frac{1}{2}k_BT_i \approxeq \frac{1}{2}MA_i^2\omega_i^2 \quad (i=x,y) \tag{11}$$

所以，原子宏运动的振幅 $A_i$ 与特征温度有关，可以通过多普勒冷却来降低特征温度，其实也就是降低动能，以此来降低宏运动的振幅。由 $(7)$ 式可见，宏运动的振幅减小的同时，微运动的动能也相应地减小了。最好的是将振幅冷却为零，这样宏运动和微运动都消失啦！但很不幸，在高等原子分子课程中，我们就学过，多普勒冷却存在一个多普勒冷却极限：

$$T_{D} = \frac{\hbar\Gamma}{2k_B} \tag{12}$$

因此宏运动与微运动都是不可能完全补偿掉的。

# 过量微运动

# 杂散静电场引起的过量微运动

$\quad$ 除了上述电极产生的场外，也许还会有些闲杂的均匀静电场 $\vec{E}_{\text{dc}}$ 存在，离子受此作用，方程 $(6)$ 变为：

$$\ddot{r}_i + [a_i+2q_i\cos(\omega t)]\frac{\omega^2}{4}r_i = \frac{Q\vec{E}_{\text{dc}}\cdot\vec{e}_i}{M} \tag{13}$$

该方程的最低阶近似解为：

$$r_i(t) \approxeq (B_i + A_i \cos(\omega_it+\psi_i)) \left[1+\frac{q_i}{2}\cos(\omega t)\right] \tag{14}$$

其中

$$B_i \approxeq \frac{4Q\vec{E}_{\text{dc}}\cdot\vec{e}_i}{M(a_i+\frac{1}{2}q_i^2)\omega^2} \approxeq \frac{Q\vec{E}_\text{dc}\cdot\vec{e}_i}{M\omega^2_i} \tag{15}$$

相比没有杂散静电场下求得的运动方程 $(7)$ 式，$(14)$ 多出了一项 $B_i+\frac{B_iq_i}{2}\cos(\omega t)$。其中 $B_i$ 使得粒子偏离了中心点位置 $B_x\vec{e}_x+B_y\vec{e}_y+B_z\vec{e}_z$；而 $\frac{B_iq_i}{2}\cos(\omega t)$ 则使得粒子额外产生了一个微运动。为了区分上面那个不可避免的微运动，我们将这个称为 “过量微运动”。与微运动不同，过量微运动不能通过冷却方法来显著减小。

# 交流电极相位差引起的过量微运动

$\quad$ 除了杂散电场会导致过量微运动之外，$2$、$4$ 电极的交流电位之间的相位差 $\varphi_{ac}$ 也可能引起过量微运动。我们设 $2$、$4$ 电极的电压分别为：

$$\begin{cases} V_{ac}^{(2)} &= V_0\cos(\omega t+\frac{\varphi_{ac}}{2}) \\ V_{ac}^{(4)} &= V_0\cos(\omega t-\frac{\varphi_{ac}}{2}) \end{cases} \tag{16}$$

这样两电极就有了一个 $\varphi_{ac}$ 的相位差。若相位差是一个小量 $\varphi_{ac}\ll 1$，则可以近似为：

$$\begin{cases} V_{ac}^{(2)} &\approxeq V_0\cos(\omega t)-\frac{1}{2}V_0\varphi_{ac}\sin(\omega t) \\ V_{ac}^{(4)} &\approxeq V_0\cos(\omega t)+\frac{1}{2}V_0\varphi_{ac}\sin(\omega t) \end{cases} \tag{17}$$

那么相比原来没有相位差 $V_{ac}^{(2)}=V_{ac}^{(4)}=V_0\cos(\omega t)$ 的情况，上式两个电极额外分别多出了两项 $\pm\frac{1}{2}V_0\varphi_{ac}\sin(\omega t)$。也正是因为这两项，使其在阱轴附近多出了一个电场：

$$E_{\varphi} = \frac{V_0\varphi_{ac}\alpha}{2R}\sin(\omega t)\vec{e}_x \tag{18}$$

其中 $\alpha$ 取决于阱的几何形状。

$\quad$ 至此，我们总结一下，若考虑上面所讨论的所有电场，总电场可以写成如下形式：

$$\vec{E}(x,y,z,t) \approxeq \underbrace{-V_0\left(\frac{x\vec{e}_x-y\vec{e}_y}{R^2}\right)\cos(\omega t)}_{\text{两交流电极产生的电场}} \ \underbrace{ - \frac{\kappa U_0}{Z_0^2}(2z\vec{e}_z-x\vec{e}_x-y\vec{e}_y)}_{\text{帽极直流电极产生的电场}}+ \underbrace{\vec{E}_{dc}}_{杂散静电场} + \underbrace{\frac{V_0\varphi_{ac}\alpha}{2R}\sin(\omega t)\vec{e}_x}_{交流电极相位差引起的电场} \tag{19}$$

相位差引起的电场只在 $x$ 方向，因此粒子运动在 $y,z$ 方向的近似解依然为 $(14)$ 式。但 $x$ 方向上的近似解则为：

$$r_x(t) \approxeq (B_x + A_x \cos(\omega_xt+\psi_x)) \left[1+\frac{q_x}{2}\cos(\omega t)\right] - \frac{1}{4}q_xR\alpha\varphi_{ac}\sin(\omega t) \tag{20}$$

上式就告诉了我们，除非 $\varphi_{ac}=0$，否则离子在任何位置，$x$ 方向上都会有一个过量微运动！

# 过量微运动对冷却极限温度的贡献

$\quad$ 正如 $(12)$ 式告诉我们的，由于宏运动与微运动不可能完全补偿掉，因此会存在一个多普勒极限。举个例子，对于用于 $^{199}\text{Hg}^+$ 离子激光冷却的 $5d^{10}6s~^{2}S_{1/2}\rightarrow 5d^{10}6p~^2P_{1/2}$ 跃迁来说，其光谱线宽 $\Gamma=2\pi\times 70\text{~MHz}$。则其激光冷却的多普勒极限为 $T_D\approxeq 1.7\text{~mK}$。
$\quad$ 现在我们把过量微运动也考虑进来，即结合 $(14)(15)(20)$ 式，可得离子沿三个方向的平均动能为：

$$E_{k_i} \approxeq \frac{1}{4}MA_i^2(\omega_i^2+\frac{1}{8}q_i^2\omega^2) + \frac{4}{M} \left(\frac{q_iQ\vec{E}_{dc}\cdot\vec{e}_i}{(2a_i+q_i^2)\omega}\right)^2 + \frac{1}{64}M(q_xR\alpha\varphi_{ac}\omega)^2\delta_{i,x} \tag{21}$$

为了比较上式中后两项相比第一项的贡献，我们将后两项写为 $k_BT_{\mu i}/2$，其中 $T_{\mu i}$ 就是 $\vec{e}_i$ 方向上过量微运动所贡献的等价温度。由于 $q_z=0$，因此沿着轴向方向上的杂散静电场不会改变该方向上的温度。对于一个囚禁在满足 $|a_i|\ll q_i^2\ll 1$、$\omega_x=2\pi\times 100\text{~KHz}$ 条件的 Paul 阱中的 $^{199}\text{Hg}^+$ 离子，一个大小为 $1\text{~V/mm}$ 的均匀 (杂散) 电场会致使 $T_{\mu x}$ 增加 $1.4\times 10^4\text{~K}$。若 $R=1.0\text{~mm}$、$\alpha=0.75$，两交流电极相位差 $\varphi_{ac}=1\degree$，则 $T_{\mu x}$ 增加 $1.7\times 0.41\text{~K}$。这些都远超过了多普勒极限的 $1.7\text{~mK}$。
$\quad$ 而且这些大小的相位差与杂散电场都是可能合理存在的。例如，交流电极的引线可能会由于不同的长度或几何排列而具有不同的电感，因此引起相位差；$1\text{~V/mm}$ 的均匀杂散电场可能会因为因为电极不均匀地附着上原子炉内的物质从而产出，也可能会由于电极表面不同晶体平面的贴片效应而产生。