# 布洛赫球的定义

$\quad\text{qubit}$ 是俩态量子系统，通常用电子的自旋作为例子，而态空间基底通常记为 $\ket{0},\ket{1}$ 。任意一个单 $\text{qubit}$ 态可以被写作：

$\ket{\psi} = e^{i\gamma} \left( \cos\frac{\theta}{2}\ket{0} + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1} \right) \tag{3.1.1}$

其中 $\theta,\phi,\gamma$ 都是实数，取值为 $0\le\theta\le\pi,\ 0\le\phi\le2\pi$ 。而如果不与其他量子系统进行比较的话， $\gamma$ 毫无测量意义，以此可以将它略去，简化为：

$\ket{\psi} = \cos\frac{\theta}{2}\ket{0} + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\ket{1} \tag{3.1.2}$

这是，用 $\theta,\phi$ 表征的一个半径为 $1$ 的三维球就称为布洛赫球。其球面的每一点都表征着某个（或不止一个）量子态。
$\quad$ 因此布洛赫球是一个可以将 $\text{qubit}$ 的状态直观化的巧妙工具。

# 布洛赫球的推导

$\quad$ 我们现在就来看看我们是如何导出 $(3.1.2)$ 式的。首先对于一般的 $\text{qubit}$ 态我们可以写作：

$\ket{\psi} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1} \tag{3.2.1}$

我们可以将 $\alpha,\beta$ 写成复数的欧拉形式，即：

$\ket{\psi} = r_\alpha e^{i\phi_\alpha} \ket{0} + r_\beta e^{i\phi_\beta} \ket{1} \tag{3.2.2}$

我们知道，如果不去与其他的量子体系进行比较，单单讨论相干态每一项的相位是没有任何测量意义的，因此我们可以引入一个相位差 $\phi$ 来代替 $\phi_\alpha,\phi_\beta$ ，结果如下：

$\ket{\psi} = r_\alpha \ket{0} + r_\beta e^{i\phi} \ket{1} \tag{3.2.3}$

由归一化条件可得：

$|r_\alpha|^2 + |r_\beta e^{i\phi}|^2 = r_\alpha^2 + r_\beta^2 = 1 \tag{3.2.4}$

因此可将令 $r_\alpha=\cos\theta,\ r_\beta=\sin\theta$ ，以此满足上述条件。这样 $\text{qubit}$ 态可以写作：

$\ket{\psi} = \cos\theta \ket{0} + e^{i\phi} \sin\theta \ket{1} \tag{3.2.5}$

$\quad$ 或许你觉得上式以及可以画出一个布洛赫球了，但我要告诉你，上式画出的 “布洛赫球” 太过剩余了！我们仔细看看，设一个范围 $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ ，考虑完全球对称的两个点 $(1,\theta,\phi),\ (1,\pi-\theta,\phi+\pi)$ ，前者代表量子态 $\ket{\psi}$ ，后者代表量子态 $\ket{\psi'}$ ，我们利用 $(3.2.5)$ 式可以发现：

$\begin{aligned} \ket{\psi'} &= \cos(\pi-\theta) \ket{0} + e^{i(\phi+\pi)} \sin(\pi-\theta) \ket{1} \\ &= -\cos\theta \ket{0} - e^{i\phi} \sin\theta \ket{1} \\ &= -\ket{\psi} \end{aligned} \tag{3.2.6}$