# 光场力

# 静止二能级原子所受光场力的一般表达式

$\quad$ 在第一章的 $(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3)$ 式中我们就指出了，将外电磁场作为微扰项，原子的哈密顿量为：

$$\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{V} \tag{2.1.1}$$

其中外场势能项我们写成：

$$\hat{V} = - \vec{p} \cdot \vec{E} = e\vec{r} \cdot \vec{E}_0 \cos (\omega t) \tag{2.1.2}$$

其实这样的写法我们是暗含了一个条件：原子的尺度远远小于光波长。因此我们把电磁波的振幅和相位都考虑 “基本不变”。但当我们考虑光场对原子的作用力时，电场应该写成如下：

$$\vec{E} = \vec{E}_0(\vec{R}) \cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \tag{2.1.3}$$

注意：由于不一定谐波，有可能是驻波，所以振幅也有可能是位置的函数。而此时外势能写为：

$$\hat{V} = - \vec{p} \cdot \vec{E} = e\vec{r} \cdot \vec{E}_0(\vec{R}) \cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \tag{2.1.4}$$

切不要搞晕了，$\vec{r}$是原子电偶极矩的矢量；而 $\vec{R}$是空间位矢，是原子所在空间的位置。
$\quad$ 利用高等量子力学 - 第二章 - 第 4 节中的埃伦费斯特定理，可知光场对原子的平均作用力为：

$$\vec{F} = - \braket{\nabla_{\vec{R}}\hat{V}} \tag{2.1.5}$$

其中势能的梯度为：

$$\begin{aligned} \nabla_{\vec{R}}\hat{V} &= e\vec{r}\cdot\vec{e}_{rad} \nabla_{\vec{R}}\left(E_0(\vec{R})\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R})\right) \\ &= e\vec{r}\cdot\vec{e}_{rad} \left( (\nabla E_0)\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) - \vec{k} E_0\sin(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \right) \end{aligned} \tag{2.1.6}$$

将 $(2.1.6)$ 代入 $(2.1.5)$ 中得：

$$\begin{aligned} \vec{F} &= -\braket{e\vec{r}}\cdot\vec{e}_{rad} \left( (\nabla E_0)\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) + \vec{k} E_0\sin(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \right) \\ &= \braket{\vec{p}} \cdot\vec{e}_{rad} \left( (\nabla E_0)\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) + \vec{k} E_0\sin(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \right) \end{aligned} \tag{2.1.7}$$

上式要注意，平均值符号 $\braket{}$ 要用的是原子态来作平均，也就是说是对 $\vec{r}$作平均，与 $\vec{R}$无关。
$\quad$ 下面我们就来利用密度矩阵计算电偶极矩的 (任意时刻的) 平均值 $\braket{\vec{p}}$。首先，写出电偶极子算符在薛定谔绘景下的矩阵表示（薛定谔绘景下的算符是不含时的！）：

$$\vec{p} = \left(\begin{matrix} \braket{g|\vec{p}|g} & \braket{g|\vec{p}|e} \\ \braket{e|\vec{p}|g} & \braket{e|\vec{p}|e} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 & \vec{\mu} \\ \vec{\mu} & 0 \end{matrix}\right) \tag{1.2.8}$$

上式的推导中，我们利用到了第一章 $(1.2.4)$ 就讨论过的一点:

$$\bra{g}\vec{p}\ket{g} = \bra{e}\vec{p}\ket{e} = 0 \tag{2.1.9}$$

以及在第一章 $(1.2.5)$ 中所设置的：

$$\vec{\mu} = \braket{e|\vec{p}|g} = \braket{g|\vec{p}|g} \tag{2.1.10}$$

接着，我们再把电偶极子算符转化为相互作用绘景中。为什么要转化到相互作用绘景中？别忘了我们在第一章最开始写成的密度矩阵 $(1.2.33)$ 是在相互作用绘景下写出来的。要把这个二能级原子的薛定谔绘景算符转化为相互作用绘景算符，需要利用第一章的 $(1.2.9)$ 式的转化算符 $\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t)$：

$$\begin{aligned} \exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t) = \left(\begin{matrix} \bra{g}\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t)\ket{g} & \bra{g}\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t)\ket{e} \\ \\ \bra{e}\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t)\ket{g} & \bra{e}\exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t)\ket{e} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \exp(-i\omega_gt) & 0 \\ \\ 0 & \exp(-i\omega_et) \end{matrix}\right) \end{aligned} \tag{2.1.11}$$

转化过程如下：

$$\begin{aligned} \vec{p}^\mathcal{I} &= \exp(\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t) \vec{p} \exp(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}_0t) \\\\ &= \vec{\mu} \left(\begin{matrix} \exp(i\omega_gt) & 0 \\ \\ 0 & \exp(i\omega_et) \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \exp(-i\omega_gt) & 0 \\ \\ 0 & \exp(-i\omega_et) \end{matrix}\right) \\\\ &= \vec{\mu} \left(\begin{matrix} 0 & \exp[-i(\omega_e-\omega_g)t] \\ \\ \exp[i(\omega_e-\omega_g)t] & 0 \end{matrix}\right) \end{aligned} \tag{2.1.12}$$

那么利用密度算符，计算平均值为：

$$\begin{aligned} \braket{\vec{p}} &= tr (\hat{\rho}\vec{p}^\mathcal{I}) = tr \left[\vec{\mu} \left(\begin{matrix} \rho_{ee} & \rho_{ge} \\ \rho_{eg} & \rho_{ee} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & \exp[-i(\omega_e-\omega_g)t] \\ \\ \exp[i(\omega_e-\omega_g)t] & 0 \end{matrix}\right) \right] \\\\ &= tr \left(\begin{matrix} \rho_{ge}\exp[i(\omega_e-\omega_g)t] & \rho_{ee}\exp[-i(\omega_e-\omega_g)t] \\\\ \rho_{ee}\exp[i(\omega_e-\omega_g)t] & \rho_{eg}\exp[-i(\omega_e-\omega_g)t] \end{matrix}\right)\vec{\mu} \\\\ &= \vec{\mu} \left( \rho_{ge}e^{i(\omega_e-\omega_g)t}+\rho_{eg}e^{-i(\omega_e-\omega_g)t} \right) \end{aligned} \tag{2.1.13}$$

将 $(2.1.13)$ 代入 $(2.1.7)$ 中，并用欧拉公式，可得：

$$\begin{aligned} \vec{F} &= \vec{\mu} \left( \rho_{ge}e^{i(\omega_e-\omega_g)t}+\rho_{eg}e^{-i(\omega_e-\omega_g)t} \right) \cdot\vec{e}_{rad} \left( (\nabla E_0)\cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) + \vec{k} E_0\sin(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{R}) \right) \\ &= \frac{\vec{\mu}\cdot\vec{e}_{rad}(\nabla E_0)}{2} \left( \rho_{ge}e^{i(\omega_e-\omega_g)t}+\rho_{eg}e^{-i(\omega_e-\omega_g)t} \right) \left(e^{i(\omega t+\varphi)}+e^{-i(\omega t+\varphi)}\right) \\ &\qquad+ \frac{(\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0)\vec{k}}{2i} \left( \rho_{ge}e^{i(\omega_e-\omega_g)t}+\rho_{eg}e^{-i(\omega_e-\omega_g)t} \right) \left(e^{i(\omega t+\varphi)}-e^{-i(\omega t+\varphi)}\right) \\ &= \frac{\vec{\mu}\cdot\vec{e}_{rad}(\nabla E_0)}{2} \left[ \rho_{ge}\left( e^{i\delta t-i\varphi}+e^{i(\omega_e-\omega_g+\omega)t+i\varphi} \right) + \rho_{eg}\left( e^{-i\delta t+i\varphi}+e^{-i(\omega_e-\omega_g+\omega)t-i\varphi} \right) \right] \\ &\qquad+ \frac{(\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0)\vec{k}}{2i} \left[ \rho_{ge}\left( -e^{i\delta t-i\varphi}+e^{i(\omega_e-\omega_g+\omega)t+i\varphi} \right) + \rho_{eg}\left( e^{-i\delta t+i\varphi}-e^{-i(\omega_e-\omega_g+\omega)t-i\varphi} \right) \right] \\ &\approx \frac{\vec{\mu}\cdot\vec{e}_{rad}(\nabla E_0)}{2} \left( \rho_{ge}e^{i\delta t-i\varphi} + \rho_{eg}e^{-i\delta t+i\varphi} \right) - \frac{(\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0)\vec{k}}{2}i \left( \rho_{eg}e^{-i\delta t+i\varphi}-\rho_{ge}e^{i\delta t-i\varphi} \right) \end{aligned} \tag{2.1.14}$$

上式的推导中，将设了一个相位因子 $\varphi=-\vec{k}\cdot\vec{R}$，并且在最后步中，采用了旋光近似，忽略了高频项。
$\quad$ 在第一章的 $(1.3.11)$ 式中，我们采用了光频旋转绘景，计算出了该绘景下密度算符矩阵元：

$$\left(\begin{matrix} \rho_{gg} & \rho_{ge}e^{i\delta t}e^{-i\varphi} \\\\ \rho_{eg}e^{-i\delta t}e^{i\varphi} & \rho_{ee} \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} \rho_{gg} & \tilde{\rho}_{ge} \\\\ \tilde{\rho}_{eg} & \rho_{ee} \end{matrix}\right) \tag{2.1.15}$$

因此，$(2.1.14)$ 式可化为：

$$\vec{F} = \frac{\vec{\mu}\cdot\vec{e}_{rad}(\nabla E_0)}{2} \left( \tilde{\rho}_{eg}+\tilde{\rho}_{ge} \right) - \frac{(\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0)\vec{k}}{2}i \left( \tilde{\rho}_{eg}-\tilde{\rho}_{ge} \right) \tag{2.1.16}$$

还记得两个在第一章 $(1.3.17)$ 式中就设置了的参数：

$$\begin{cases} u = \tilde{\rho}_{eg}+\tilde{\rho}_{ge} \\ v = i(\tilde{\rho}_{eg}-\tilde{\rho}_{ge}) \end{cases} \tag{2.1.17}$$

以及 $\text{Rabi}$ 频率 $\Omega_R$：

$$\Omega_R = -\vec{\mu}\cdot\vec{E_0}/\hbar \tag{2.1.18}$$

利用 $(2.1.17)(2.1.18)$ 式，可将 $(2.1.16)$ 写为：

$$\begin{aligned} \vec{F} &= -\hbar\frac{\nabla\Omega_R}{2}u + \frac{\hbar\Omega_R}{2}v\vec{k} \\ &= -\frac{1}{2}\hbar\Omega_R u(\frac{\nabla\Omega_R}{\Omega_R}) + \frac{1}{2}\hbar\Omega_Rv\vec{k} \tag{2.1.19} \end{aligned}$$

再设参数：

$$\begin{cases} \frac{\nabla\Omega_R}{\Omega_R} = \vec{\alpha} \\\\ \vec{k} = \vec{\beta} \end{cases} \tag{2.1.20}$$

这样：

$$\vec{F} = -\frac{1}{2}\hbar\Omega_R u\vec{\alpha} + \frac{1}{2}\hbar\Omega_Rv\vec{\beta} \tag{2.1.21}$$

$\quad$ 很明显，上式中的力可以分为两项，它们分别被称为散射力与偶极力：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \frac{1}{2}\hbar\Omega_Rv\vec{\beta} \tag{2.1.22a}$$

$$\vec{F}_{\text{dipole}} = -\frac{1}{2}\hbar\Omega_R u\vec{\alpha} \tag{2.1.22b}$$

且结合第一章的 $(1.3.17)(1.3.18)(1.3.19)$ 式，可以计算出当布局数处于稳态时：

$$\begin{cases} v = \frac{2\Gamma\Omega_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \\\\ u = \frac{-4\delta\Omega_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \end{cases} \tag{2.1.23}$$

将 $(2.1.23)$ 代入 $(2.1.22)$ 中，最终可得当二能级原子布局数稳定时，光场对其的两种力的表达式：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \frac{\hbar\Gamma\Omega^2_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \vec{\beta} \tag{2.1.24a}$$

$$\vec{F}_{\text{dipole}} = \frac{2\hbar\delta\Omega^2_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R}\vec{\alpha} \tag{2.1.24b}$$

# 行波场 —— 散射力

$\quad$ 对于行波场，振幅 $\vec{E}_0$ 不随空间变化，而相位 $\varphi(\vec{r})=-\vec{k}\cdot\vec{r}$。此时行波场可表示为：

$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_0 \cos(\omega t+\varphi(\vec{r})) = \vec{E}_0 \cos(\omega t-\vec{k}\cdot\vec{r}) \tag{2.1.25}$$

对于这种情况，根据 $(2.1.22)(2.1.24)$，很明显偶极力为零，而散射力为：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \hbar\vec{k} \frac{\Gamma\Omega^2_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \tag{2.1.26}$$

其中，$\Gamma$ 为原子上能级的自发辐射速率（ $1/\Gamma$ 为原子上能级的寿命）；$\delta=\Delta\omega-\omega\pm\vec{k}\cdot\vec{v}$为失谐量（考虑到多普勒效应）；$\Delta\omega=\omega_e-\omega_g$ 为跃迁频率；$v$ 是原子的运动速度。
$\quad$ $\vec{F}_{\text{scatter}}$ 的物理意义可讨论如下： $\hbar\vec{k}$表示光子的动量，而 $\frac{\Gamma\Omega^2_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R}$ 因子表示原子在单位时间内吸收的光子数。行波场的光子是完全定向的，原子吸收光子引起其总动量的变化即为原子感受到的散射力。原子吸收光子后跃迁到激发态，随后自发辐射到基态。虽然自发辐射光子也会对原子产生反冲，也会改变原子的动量，但自发辐射光子的方向是各向同性的，大量自发辐射光子引起原子总动量的变化为零。定向光子产生的原子动量变化可以积累，从而得到可观的散射力。
$\quad$ 特别是，当原子运动方向与定向光子的运动方向相反时，原子会因这个效应减少，这就是激光冷却的原理！如下图所示。激光冷却更详细的内容在下一节谈论，

# 驻波场 —— 偶极力

$\quad$ 驻波场可表示为：

$$\vec{E}(\vec{r},t) = \vec{E}_0\cos(\vec{k}\cdot\vec{r})\cos(\omega t) \tag{2.1.27}$$

其中，相位 $\varphi(\vec{r})=0$；振幅 $\vec{E}_0(\vec{r})=\vec{E}_0\cos(\vec{k}\cdot\vec{r})$ 是随空间位置变化的，导致 $\text{Rabi}$ 频率 $\Omega_R=-\vec{\mu}\cdot\vec{E}_0(\vec{r})/\hbar$ 也是随空间位置发生变化的。此时，根据 $(2.1.22)(2.1.24)$，偶极力为：

$$\vec{F}_{\text{dipole}} = \hbar\delta \frac{\nabla\Omega_R^2}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \tag{2.1.28}$$

$\quad$ $\vec{F}_{\text{dipole}}$ 的物理意义可讨论如下：该力来源于光场振幅（从而也是光场强度）的空间不均匀性。由于光场强度的空间不均匀性，原子在光场中不同位置时将具有不同的能量，原子自然要向能量低位置移动。本质上，这个力是原子的感生电偶极矩在不均匀光场中所感受的力，因此称为偶极力。从另一个角度来看，不均匀光场可看成由许多不同模的光场叠加而成。原子与光场作用时可以从一个场模吸收光子，而向另一个场模受激发射一个光子。这样，光子就在不同场模之间转移，在不同场模中重新分布。而由于不同常模的光子的动量不同，这个过程就会引起原子动量的变化，即原子感受到力的作用！
$\quad$ 我们再仔细来看看 $(2.1.28)$ 式。梯度 $\nabla\Omega_R^2$ 的方向指向光场强度大的地方。当失谐量 $\delta<0$，即 $\omega>\omega_e-\omega_g$，此时激光蓝失谐，偶极力的方向指向弱光处；当失谐量 $\delta>0$，即 $\omega<\omega_e-\omega_g$，此时激光红失谐，偶极力的方向指向强光处。利用这一性质，可以制造激光阱。

# 原子冷却时所需的减速路程

$\quad$ 我们再来回顾一下，我们在第一章时就计算出了当二能级原子布局数稳定时，其激发态的布局为：

$$\rho_{ee} = \frac{\Omega_R^2}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \tag{2.2.1}$$

而自发辐射的速率为 $\Gamma\rho_{ee}$，$\Gamma$ 是唯象引入的耗散参数，一般可认为它与激发态寿命 $\tau$ 的关系是：

$$\Gamma = 1/\tau \tag{2.2.2}$$

在第一节的讨论中，我们引入了散射力，如果把这个力看作光子对原子的散射引起的，那么可有：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \text{光子动量}\times\text{散射率} \tag{2.2.3}$$

而一般认为，原子对光子的吸收的很快速的，所有真正占据 “激发 - 自发辐射” 这个过程主要时间的其实还是激发态的寿命时间，因此散射率可认为是等于自发辐射率：

$$R_{\text{scatter}} = \Gamma\rho_{ee} = \frac{\Gamma\Omega_R^2}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \tag{2.2.4}$$

而光子的动量为 $\hbar\vec{k}$，因此代入 $(2.2.3)$ 可得散射力为：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \hbar\vec{k} \frac{\Gamma\Omega^2_R}{4\delta^2+\Gamma^2+2\Omega^2_R} \tag{2.2.5}$$

这一结果与 $(2.1.26)$ 是完全一样的，只是在第一节推导散射力我们用更加严格的从 “第一性原理” 出发推导出来，而上面几个式子从物理图像推导出来。
$\quad$ 现在我们引入一个参数，称为 饱和强度，记作 $s$：

$$s = \frac{I}{I_{\text{sat}}} \tag{2.2.6}$$

其中 $I$ 是激光的光强；$I_{\text{sat}}$ 是原子所能吸收的最大光强，称为饱和光强。我们知道，原子的 $\text{Rabi}$ 频率与光强有关；而原子所能吸收的最大光强，与它单位时间内能吸收的最多光子数有关，这也就和它的激发态寿命有关，因此这就与 $\Gamma$ 联系起来了。通过推导，证明 $\text{Rabi}$ 频率和自发辐射唯象参数 $\Gamma$ 可以与饱和强度 $s$ 通过下式联系起来：

$$s = \frac{I}{I_{\text{sat}}} = \frac{2\Omega_R^2}{\Gamma^2} \tag{2.2.7}$$

关于具体证明，以后有机会再写。QAQ
$\quad$ 将 $(2.2.7)$ 代入 $(2.2.5)$ 式得：

$$\vec{F}_{\text{scatter}} = \hbar\vec{k} \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{1+s+4\delta^2/\Gamma^2} \tag{2.2.8}$$

当激光光强足够大 $I\rightarrow\infin$，也就是说饱和度足够大，此时拥有最大的散射力：

$$\vec{F}_{\text{max}} = \hbar\vec{k}\frac{\Gamma}{2} \tag{2.2.9}$$

对于一个质量为 $M$ 的原子，这个力将会产生一个最大的加速度：

$$\vec{a}_{\text{max}} = \frac{F_{\text{max}}}{M} = \frac{\hbar\vec{k}}{M} \frac{\Gamma}{2} = \frac{\vec{v}_r}{2\tau} \tag{2.2.10}$$

其中，$\tau$ 是激发态的寿命；而 $\vec{v_r}$ 是反冲速度：

$$\vec{v}_r = \frac{\hbar\vec{k}}{M} \tag{2.2.11}$$

反冲速度的物理意义也很明确：原子吸收一个光子得到的速度。
$\quad$ 假设原子在 $z=0$ 处的初始速度沿着 $z$ 轴正向为 $v_0$，而激光传播反向与它相反，那么原子速度与距离的函数为：

$$v_0^2-v^2 = 2az \tag{2.2.12}$$

实际上，实验中设置的加速度是最大加速度的一半，即 $a=a_{\text{max}}/2$，因此可计算出完全停止这个原子所需的减少距离为：

$$L_0 = \frac{v_0^2}{a_{\text{max}}} \tag{2.2.13}$$

$\quad$ 以一个典型钠原子 $(M\approx23\mathrm{~a.m.u})$ 的减速装置为例，其相关参数如下表：

对于实验条件来说，一米左右的停止距离是十分友好的。而实际上，更友好的是，几乎所有的碱金属的停止距离都是差不多的！

$\quad$ 在上面的讨论中，我们忽略掉了一个重要的问题，那就是多普勒频移！在原子减速的过程中，因为多普勒频移，激光对于原子的失谐率 $\delta$ 会改变，当失谐量越偏离零时，从表达式 $(2.2.8)$ 也可以看出散射力会变小，这样会使得激光冷却无法持续进行下去。因此，为了使得整个冷却过程中失谐量保持接近于零，必须对于多普勒频移产生的变化进行补偿！这也就是下一节所要讨论的。

# 两种补偿多普勒频移的方法

$\quad$ 下面将分别介绍进行激光冷却实验时，两种用来补偿原子减速时多普勒频移带来的变化的开创性方法。分别是塞曼减速法和啁啾冷却。

# 塞曼减速法

$\quad$ 使用塞曼效应对减速原子的多普勒频移补偿，这个方法是由 $\text{William Phillips}$ 和他的同事提出的。他们使用如图 $2.3$ 所示的巧妙方法：原子束沿着锥形螺线管的轴线传播，变化磁场的塞曼效应扰动了原子的能级，使得跃迁频率与恒定的激光频率相匹配。

$\quad$ 假设原子束进入螺线管的初始速度为 $v_0$，螺旋管的长度大概设置为上一节所讨论的典型减速距离 $L_0$ （加速度为最大加速度的一半情况）。那么结合 $(2.2.12)(2.2.13)$ 式，可得速度 $v$ 与位移 $z$ 的关系为：

$$v = v_0 \left(1-\frac{z}{L_0}\right)^{1/2} \tag{2.3.1}$$

为了补偿原子从 $v_0$ 减速到所选定 最终速度时多普勒频移的变化，由塞曼效应引起的频移需要服从以下条件：

$$\omega_0+\frac{\mu' B(z)}{\hbar} = \omega + kv \tag{2.3.2}$$

其中 $\omega_0$ 是无磁场时原子的跃迁 (角) 频率，$\omega$ 是激光 (角) 频率，$kv$ 是多普勒频移产生的项，$\frac{\mu' B(z)}{\hbar}$ 是塞曼效应额外产生的跃迁 (角) 频率，$\mu'$ 为有效极矩。将 $(2.3.1)$ 代入 $(2.3.2)$ 得：

$$\begin{aligned} B(z) &= \frac{\hbar(\omega-\omega_0)}{\mu'} + \frac{\hbar kv_0}{\mu'} \left(1-\frac{z}{L_0}\right)^{1/2} \\&= B_{\text{bias}} + B_0\left(1-\frac{z}{L_0}\right)^{1/2} \end{aligned} \tag{2.3.3}$$

对于 $0\le z \le L_0$，有：

$$B_0 = \frac{\hbar k v_0}{\mu'} = \frac{hv_0}{\lambda\mu'} \tag{2.3.4}$$

并且会有一个恒定的偏置磁场：

$$B_{\text{bias}} = \frac{\hbar(\omega-\omega_0)}{\mu'} \tag{2.3.5}$$

但实验中，我们一般不会让 $(2.3.5)$ 式真的相等，因为这样原子将会在螺旋管末端完全停止。一般来说，让原子保持一个小的速度出螺线管很有必要，这样他就可以移动到下一个功能区域进行研究。
$\quad$ 相应的习题为 exercise 7: Zeeman slower。

# 啁啾冷却

$\quad$ 补偿冷却原子时的多普勒频移的另一个开创性的方法是：当原子减速时，改变激光频率以跟踪多普勒频移。这种方法称啁啾冷却 —— 啁啾脉冲是一种频率快速扫过的脉冲。这个名字源于鸟鸣，因为在鸟鸣中，声音的音调就是快速变化的。

$\quad$ 激光的角频率为 $\omega$，激光对于静止的原子跃迁的失谐量，为了区分考虑到多普勒频移后的失谐量，在笔记中，我们约定称此为 “原本失谐量”，我们仍然采用以往的符号 $\delta$ 表示：

$$\delta = \omega_e - \omega_g -\omega \tag{2.3.6}$$

若原子的速度为 $v$，且与激光传播方向相反，考虑到多普勒频移，则原子感受到的激光频率与之间的跃迁频率之差，在笔记中，我们称呼作 “实际失谐量”，用 $\Delta$ 表示：

$$\Delta = \omega_e-\omega_g - (\omega+kv) = \delta - kv \tag{2.3.7}$$

啁啾冷却就是通过快速条件激光的频率，使得在这个原子在减速的过程中，始终保持 “实际失谐量” 为一个比较小的常量，且我们往往会令这个小量大于零：

$$\Delta(t) = \delta(t)-kv(t) = \delta_c > 0 \tag{2.3.8}$$

$\quad$ 在这里，你也许或感到疑惑，既然改变激光的频率，那么为什么上式中的激光波矢 $k$ 不写为 $k(t)$。我们应该先指出一件事。啁啾减速要求快速改变激光的频率，一般来说，激光的频率会在几毫秒内变化量要超过 $1\mathrm{~GHz}$ 的量级。尽管看起来频率改变如此高，其实相比激光 $\omega$ 的改变，其 $k$ 的改变基本可以忽略不计。
$\quad$ 举个例子，$^{171}\text{Yb}^+$ 离子的冷却采用了 $^2S_{1/2}\leftrightarrow{^2P_{1/2}}$ 的光学跃迁，其跃迁所对应的波长约为 $369.5\text{~nm}$，那么用于跃迁激光的 (角) 频率 $\omega\approx5.1\times 10^{15}\mathrm{~Hz}$，其波矢约为 $k\approx1.7\times 10^{7}\mathrm{~m^{-1}}$。若啁啾激光的频率改变量为 $\Delta\omega\approx 10^{9}\mathrm{~Hz}$，则波矢改变量为 $\Delta k=\Delta\omega/c\approx 3.3\mathrm{~m^{-1}}$。热原子的速度大概在几百米每秒的量级，那么 $(\Delta k)v\sim 10^3\mathrm{~m^{-1}}$ 的量级。明显，$\Delta\omega\gg(\Delta k)v$，所以在下面的推导中，我们忽略掉啁啾激光的波矢变化。

$\quad$ 下面我们来推导看看，是如何利用啁啾技术补偿一个初速度为 $v_0$ 原子冷却过程中的多普勒频移。
$\quad$ 首先，原子的速度变化满足牛顿法则：

$$\frac{dv(t)}{dt} = -\frac{F_{0}}{m} \tag{2.3.9}$$

其中 $F_{0}$ 是光场散射力的大小，利用 $(2.2.8)$ 式来计算，但要注意式中的失谐量应采用 “实际失谐量”，即：

$$\vec{F}_0 = \vec{F}_{\text{scatter}} = \hbar \vec{k} \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{1+s+4\Delta^2/\Gamma^2} \tag{2.3.10}$$

再将初速度为 $v_0$ 考虑，$(2.3.9)$ 式可解得：

$$v(t) = v_0 - \frac{F_0t}{m} \tag{2.3.11}$$

啁啾冷却要求在整个冷却过程中，该原子的 “实际失谐量” 保持一个小的常量，因此我们将 $(3.2.11)$ 式代入所要求的 $(2.3.8)$ 式，整理得：

$$\begin{aligned} &\delta(t) - kv_0 = \frac{kF_0t}{m} + \delta_c \\ \Longrightarrow&\delta(t)-\delta(0) + (\delta(0)-kv_0) = -\frac{kF_0t}{m} + \delta_c \\ \Longrightarrow&\delta(t)-\delta(0) + \delta_c = -\frac{kF_0t}{m} + \delta_c \\ \Longrightarrow&\delta(t)-\delta(0) = -\frac{kF_0t}{m} \\ \Longrightarrow&\left(\omega_e-\omega_g-\omega(t)\right) - \left(\omega_e-\omega_g-\omega(0)\right) = -\frac{kF_0t}{m} \\ \Longrightarrow&\omega(t) = \frac{kF_0t}{m} + \omega(0) \end{aligned} \tag{2.3.12}$$

$(2.3.12)$ 的最后一式就是啁啾冷却的激光频率变化，可见它几乎是线性变换的！(“几乎” 一词是因为毕竟还是引入了一些近似)。

$\quad$ 下面，我们考虑更加一般的情况。实际上，在原子炉里加热出来的原子速度不可能都是 $v_0$，而是有一个概率分布的，这个概率分布满足麦克斯韦 - 玻尔兹曼速率分布。而我们现在就要考虑，对于一些初速度 $\tilde{v}_0 \ne v_0$ 的原子，它们在满足 $(2.3.12)$ 式的啁啾激光冷却下，速度是如何变化的。
$\quad$ 我们设置两个坐标系：一个是实验坐标系，在这个坐标系下，某个原子的初速度为 $\tilde{v}_0(\ne v_0)$，每一时刻的速度为 $\tilde{v}(t)$；另一个是随上面所讨论的初速度为 $v_0$ 的 “特定原子” 运动的移动坐标系，在这个坐标系下，某原子的速度 $\tilde{v}'(t)$ 为:

$$\tilde{v}'(t)=\tilde{v}(t)-v(t) \tag{2.3.13}$$

$\quad$ 某原子的 “实际失谐量” 为：

$$\tilde{\Delta}(t) = \delta(t) - k\tilde{v}(t) \tag{2.3.14}$$

利用 $(2.3.8)$ 式，上式可化为：

$$\tilde{\Delta}(t) = kv(t)+\delta_c - k\tilde{v}(t) \tag{2.3.15}$$

再利用 $(2.3.13)$ 式代入 $(2.3.15)$ 式得：

$$\tilde{\Delta}(t) = \delta_c - k\tilde{v}'(t) \tag{2.3.16}$$

上式就是某原子在冷却过程中 “实际失谐量” 的变化。
$\quad$ 然后，在移动坐标系下，某原子的牛顿方程为：

$$m\frac{d\tilde{v}'(t)}{dt} = m\frac{d\tilde{v}(t)}{dt} - m\frac{dv(t)}{dt} \tag{2.3.16}$$

其中，上式右边的第二项利用 $(2.3.7)(2.3.9)(2.3.10)$ 可得：

$$\begin{aligned} m\frac{dv(t)}{dt} &= -F_0 = - F_{\text{scatter}}(\delta_c) \\ &= - \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{1+s+4\delta_c^2/\Gamma^2} \end{aligned} \tag{2.3.17}$$

而右边的第一项为同样也为相应 “实际失谐量” 的散射力：

$$\begin{aligned} m\frac{d\tilde{v}(t)}{dt} &= -F_{\text{scatter}}(\tilde{\Delta}) \\ &= - \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{1+s+4\tilde{\Delta}^2/\Gamma^2} \\ &= - \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{1+s+4(\delta_c - k\tilde{v}')^2/\Gamma^2} \end{aligned} \tag{2.3.18}$$

将 $(2.3.17)(2.3.18)$ 代入 $(2.3.16)$ 得：

$$m\frac{d\tilde{v}'(t)}{dt} = \hbar k \frac{\Gamma}{2} \left[ \frac{s}{1+s+(\frac{2\delta_c}{\Gamma})^2} - \frac{s}{1+s+\left[\frac{2(\delta_c - k\tilde{v}')}{\Gamma}\right]^2} \right] \tag{2.3.19}$$

我们考虑当 $\tilde{v}'$ 比较小的情况，也就是 “某原子” 速度 $\tilde{v}$ 与 “特定原子” 速度 $v$ 相差并不大时的情况。上式可展开为一项得：

$$\begin{aligned} m\frac{d\tilde{v}'(t)}{dt} &\approxeq \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{(1+s+(\frac{2\delta_c}{\Gamma})^2)^2} 2(\frac{2\delta_c}{\Gamma}) \frac{2}{\Gamma} (-k\tilde{v}') \\ &= - \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{(1+s+(\frac{2\delta_c}{\Gamma})^2)^2} \frac{8\delta_ck}{\Gamma^2} \tilde{v}' \tag{2.3.20} \end{aligned}$$

设一个参数 $\alpha$ :

$$\alpha = \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{(1+s+(\frac{2\delta_c}{\Gamma})^2)^2} \frac{8\delta_ck}{\Gamma^2} > 0 \tag{2.3.21}$$

上式中 $\alpha>0$ 是因为 $\delta_c>0$。这样 $(2.3.20)$ 式就化为：

$$m\frac{d\tilde{v}'(t)}{dt} \approxeq -\alpha\tilde{v}' \tag{2.3.22}$$

$\quad$ 上式的意义就在于，对于一些与 “特定原子” 速度相差不大的 “某原子”，它们的速度会向 “特定原子” 靠拢。这是由于 $(2.3.22)$ 所描绘的向 “特定原子” 靠拢的汇聚力，如下图所示。

这样，对于其他初速度不为 $v_0$ 的原子的冷却过程我们也大概清楚了：在冷却的任何时间点，速度在 $v(t)$ 附近的原子都会被 “冷却” 向 $v(t)$ 聚拢。这就导致了经过整个冷却过程后，初速度小于 $v_0$ 的原子，基本都会有冷却效果；而初速度大于 $v_0$ 的原子（以及大于 $v_0$，且不能认为是 $v_0$ 附近），就不会有冷却效果了。冷却后的速度分布如下图所示。

# 多普勒冷却

# 光学黏团

$\quad$ 在原子束中，准直选择在一个方向上运动的原子，这个方向可以用单个激光束来减速。气体中的原子在各个方向上运动，为了使它们都减速，需要在三个正交的方向上都放置一对激光来进行激光冷却，如下图所示。

其中沿同一轴线的一对激光器拥有相同的频率，其该频率红失谐与原子跃迁频率，即激光频率会小于原子跃迁频率。这样才能达到我们想要的效果：对于沿该轴线运动的原子，该对激光器会因为多普勒效应产生不平衡的力，从而导致原子减速。

这样的一对激光产生的不平衡合力，可以记作 $F_{\text{molasses}}$，表达式如下：

$$\begin{aligned} F_{\text{molasses}} &= F_{\text{scatter}}(\delta-kv) - F_{\text{scatter}}(\delta+kv) \\ &= \hbar k \frac{\Gamma}{2} \left[ \frac{s}{1+s+(\frac{2(\delta-kv)}{\Gamma})^2} - \frac{s}{1+s+(\frac{2(\delta+kv)}{\Gamma})^2} \right] \\ &\approxeq -\hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{\left(1+s+\frac{4\delta^2}{\Gamma^2}\right)^2} \frac{8\delta}{\Gamma^2} (2kv) \\ &= -\hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{\left(1+s+\frac{4\delta^2}{\Gamma^2}\right)^2} \frac{16\delta k}{\Gamma^2} v \end{aligned} \tag{2.4.1}$$

设

$$\alpha = \hbar k \frac{\Gamma}{2} \frac{s}{\left(1+s+\frac{4\delta^2}{\Gamma^2}\right)^2} \frac{16\delta k}{\Gamma^2} >0 \tag{2.4.2}$$

注意由于激光是红失谐的，因此 $\delta>0$，所以上式的 $\alpha>0$。由此可得：

$$F_{\text{molasses}} = -\alpha v \tag{2.4.3}$$

注意，在 $(2.4.1)$ 式中，去近似的条件是 $v$ 比较小的情况。这样近似后，由 $(2.4.3)$ 可知在 $v\approx 0$ 附近，$F_{\text{molasses}}$ 为近线性的。如下图所示。

当 6 束激光一起产生了这样三个方向的作用力，原子就如同在黏性的光子 "海洋" 中，一边被减速，一边被黏住。于是，我们把这 6 束激光交汇处的这团原子核光子集合体称为光学黏团。由于利用到了多普勒效应，这样冷却原子的方法也称为多普勒冷却。

# 多普勒冷却极限

$\quad$ 通过多普勒冷却，原子的温度是否会趋于绝对零度呢？这显然是不可能的，因为减速过程实际上是原子与光子动量交换的过程：原子因为吸收光子而造成动量减少，而在自发辐射光子时，又在光子的反方向得到一个反冲动量，尽管后者由于各向同性，原子在速度空间会由于反冲速度 $v_r$ 方向的随机性，从而会进行步长为 $v_r$ 的随机游走。尽管原子的自发辐射造成的随机游走的速度平均值为零：

$$\braket{\vec{v}_{\text{spont}}} = \overline{\vec{v}_{\text{spont}}} = 0 \tag{2.4.4}$$

但其均方却不为零，经过 $\overline{N}$ 次冷却循环后，为：

$$\braket{v^2_{\text{spont}}} = \overline{v^2_{\text{spont}}} = \overline{N} v_r^2 = R_{\text{scatter}} t v_r^2 \tag{2.4.5}$$

其中 $\overline{N}=R_{\text{scatter}}t$ 为 $(2.2.4)$ 式讨论的结果，而 $v_r$ 是 $(2.2.11)$ 式所提到的反冲速度。上面中的 $\overline{N}$ 和 $(2.2.4)$ 式稍微有些不同的是，这里要强调 $\overline{N}$ 是在时间 $t$ 内吸收光子数的平均值。由于自发辐射的方向完全是随机的，因此每个方向的均方各占三分之一：

$$\braket{(v^2_x)_{\text{spont}}}=\braket{(v^2_y)_{\text{spont}}}=\braket{(v^2_z)_{\text{spont}}}=\frac{1}{3}R_{\text{scatter}} t v_r^2 \tag{2.4.6}$$

上式就是由于自发辐射导致原子在各个方向的速度均方不为零。

$\quad$ 在吸收光子的过程中，时间 $t$ 内吸收的光子数是有涨落的，虽然平均值是 $\overline{N}$，但有时会多，有时会少。其时间 $t$ 内吸收光子数 $N$ 满足泊松分布，记作 $N \sim \text{Poisson}(\overline{N})$。由泊松分布的性质可知，$N^2$ 的平均值 $\overline{N^2}$ 为：

$$\overline{N^2} = \overline{N}+\overline{N}^2 \tag{2.4.7}$$

所以 $N$ 的标准差 $\sigma(N)$ 为：

$$\sigma(N) = \sqrt{\overline{N^2}-\overline{N}^2} = \sqrt{\overline{N}} \tag{2.4.8}$$

在 $t$ 时间后，经过 $N$ 次冷却过程，原子在光束方向上的速度降为零了，严格讲是平均值降为零了，但仍然会因为有 $(2.4.8)$ 的标准差波动，所以导致原子在光束方向上的速度会有所波动。最终导致原子在光束方向上的速度因为吸收效应而产生波动：

$$(v_z)_{\text{abs}} = -\sigma(N) v_r \sim \sigma(N) v_r \tag{2.4.9}$$

虽然平均值还是零：

$$\braket{(v_z)_{\text{abs}}} = \overline{(v_z)_{\text{abs}}} = 0 \tag{2.4.10}$$

但均方的平均值却不再为零了：

$$\braket{(v_z^2)_{\text{abs}}} = \overline{(v_z^2)_{\text{abs}}} = [\sigma(N) v_r]^2 = v_r^2 \overline{N} = R_{\text{scatter}} t v_r^2 \tag{2.4.11}$$

上式这个波动用物理的方法可以这样理解：假设原子在光束方向上速度冷却为零了。由于多普勒效应消失，激光又是红失谐于原子跃迁频率的，那么原子就完全不会吸收光子了吗？不是的，失谐量存在，原子仍然会吸收光子进行跃迁，只不过概率会相对较低一点。所以即使原子速度下降为零了，激光仍然有概率和它作用，使其波动。
$\quad$ 上面都是仅仅考虑一个激光器的作用。对于自发辐射导致的 $\overline{(v^2_z)_{\text{spont}}}$，三个方向的三对激光器，即六个激光器都有作用，因此散射率要改为 $6R_{\text{scatter}}$，从而 $(2.4.6)$ 式改为：

$$\overline{(v^2_z)_{\text{spont}}} = 6\times\frac{1}{3}R_{\text{scatter}} t v_r^2 = 2 R_{\text{scatter}} t v_r^2 \tag{2.4.12}$$

对于吸收效应导致的 $\overline{(v_z^2)_{\text{abs}}}$，只有 $z$ 方向上的一对激光器起作用，因此散射率要改为 $2R_{\text{scatter}}$，从而 $(2.4.11)$ 式改为：