# Chapter 2 离子囚禁系统

$\quad$ 当离子内部的量子态和运动的量子态被微波或激光束相干地操作时，可以用一个离子囚禁系统来冷却和囚禁离子。一般来说，一个离子阱是人工设计的电场或磁场组合，用于捕获和限制真空系统内自由空间区域的离子。除了 (被囚禁) 离子量子计算机，离子阱还有很多重要的应用，包括质谱仪、精密测量，甚至是全世界最精密的原子钟 [23]。Penning 阱和 Paul 阱是两种典型的阱。当使用离子阱去研究量子态的操作时，Paul 阱是最经常使用的。
$\quad$ 在一个 (被囚禁) 离子量子计算机中，量子比特主要储存在拥有长寿命稳定的电子能级的离子中。通过操作每个离子内部的态和离子链的集体量子化运动态，一个量子大门的全体开端被实现。通过库仑相互作用制备了多离子纠缠态，并能以高保真度测量和传输。量子投影测量是通过收集激光诱导发射的量子化荧光光子来实现的。超高真空度 $(<10^{-11}torr)$ 和设计良好的谐波囚禁势可以制造被囚禁离子的完全纯量子态体系。与外界环境噪声的有效隔离以及拥有丰富的操作集合，使得它成为最有希望实现可拓展量子计算和模拟的系统之一。
$\quad$ 物理上，一个囚禁离子实验系统至少由这两个部分组成。

1. 囚禁系统。这个部分是系统的核心。所有的量子操作都在这里进行。
   (a) 离子阱，四杆式阱，叶片式阱，片状式阱。
   (b) 原子炉。由电或激光加热原子束。
   (c) 射频螺旋谐振器。自制高输出电压对径向约束的射频放大器。
   (d) 滤波直流电路。可控电压源和直流滤波器，用于轴向约束和移动。

2. 真空系统。这一部分提供一个良好的隔离环境，拥有超高真空度 $(UHV,10^{-9}~10^{-12} mbar)$ 和低的背景碰撞率。
   (a) 真空组件。真空室，法兰，铜垫圈，进给管和真空计。
   (b) 真空泵。机械粗泵、涡轮分子泵、钛升华泵、离子泵。
   (c) 烘箱。一个大烤箱，用来烘烤水和气体。

所有的这些子系统构成了囚禁离子的量子操作的基础。在本章中，我们主要描述离子囚禁系统的基础构成。更多关于日常操作、量子操纵和相关设备的细节将在第 3 章和第 4 章讨论。

# 囚禁系统

$\quad$ 我们将以四杆式阱为开始，这种阱是我工作的主要实验平台。然后，我将描述更多细节去认识这个囚禁系统的每一个部分。

# Paul 离子阱的原理

$\quad$ 四杆式阱是 Paul 线性阱的一种。它使用四个电极去形成一个旋转的射频场。场的势能能够被描述为一个$x,y$ 平面上，中心在原点的抛物线型伪势，这使得离子弹性地约束在$z$ 轴上。并在在$z$ 轴方向上，有两个电极被用来产生一个静态的库仑势，在这里离子被排列成一串。一个我们所使用的线性四杆式阱草图在$Fig.2.1.1$ 中展示。

$\quad$ 在靠近阱的轴线处，当 $\omega/2\pi>100kHz$ 并且 $|V_0|<1000V$ 时，被电极产生的总势能能被写成

$$\Phi(x,y,z,t) = U_0\frac{1}{Z_0}(\alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2) + V_0 \cos(\omega t) \frac{1}{2R^2} (\alpha' x^2+\beta' y^2+\gamma' z^2) \tag{2.1.1}$$

在自由场中，任何静电势的拉普拉斯方程必须等于零，因为在自由场中电荷密度均为零。拉普拉斯条件 $\nabla^2\Phi=0$ 暗示着：

$$\begin{aligned} &\alpha+\beta+\gamma=0 \\ &\alpha'+\beta'+\gamma'=0 \end{aligned}$$

并且在 Paul 阱的条件下 [6]，有：

$$\begin{aligned} -(\alpha+\beta)&=\gamma<0 \\ \alpha'+\beta'&=\gamma'=0 \end{aligned}$$

相应的电场是：

$$\vec{E}(x,y,z,t) = -\frac{\partial\Phi}{\partial \vec{r}} = -\frac{\gamma U_0}{Z_0^2}(2z\vec{e}_z-x\vec{e}_x-y\vec{e}_y) - \alpha'V_0\frac{x\vec{e}_x-y\vec{e}_y}{R^2}\cos(\omega t) \tag{2.1.2}$$

对于一个质量为 $m$，电荷为 $Q$ 的离子，其在这个场下的经典运动方程可以在空间坐标系中解耦：

$$m\ddot{u}_i = QE_i,\quad i=x,y,z$$

沿着每一个轴的运动方程能被写成一个 Mathieu 微分方程：

$$\ddot{u}_i+(a_i+2q_i\cos(\omega t))\frac{\omega^2}{4}u_i = 0 \tag{2.1.3}$$

其中：

$$a_x = a_y = -\frac{1}{2}a_z = -\frac{4Q\gamma U_0}{mZ_0^2\omega^2}$$

$$q_x = -q_y = \frac{2Q\alpha'V_0}{mR^2\omega^2},\quad q_z=0$$

做一个例子，提供我们的四杆式阱的物理参数：

$$\begin{aligned} &Q=e=1.6\times10^{-19}C \\ &\gamma\approx 1 \\ &U_0=30V \\ &m=\frac{171}{6.02}\times10^{-23} \approx2.84\times10^{-22}g \\ &Z_0=\frac{1.3}{2}=0.65\mu m \\ &R=0.5\sqrt{2}-0.25\approx0.457 mm \\ &\alpha'\approx 1 \\ &V_0\approx 500V \\ &\omega=(2\pi) 12MHz \end{aligned}$$

我们有：

$$a_x\approx0.028 ,\quad q_x\approx 0.474.$$

在必要的条件 $(|a_i|,q_i^2\ll 1)$ 下，最低阶近似稳定解是：

$$u_i(t) \approx A_i\cos(\beta_i\frac{\omega}{2}t+\phi_i)(1+\frac{q_i}{2}\cos(\omega t)) \tag{2.1.4}$$

其中 $\beta\approx\sqrt{a_i+q_i^2/2}$。这个运动解包含了久期简谐振荡，期频率为 $\omega_i=\beta_i\omega/2\ll\omega$，和一个快速的、小的振荡，称为 “微运动”，其频率与驱动射频场的频率相同。离子在一个久期简谐振荡周期内的平均动能为：

$$E_i^{(k)} = \frac{1}{2} m \braket{\dot{u}_i^2} \approx \frac{1}{4} mu_i^2(\omega_i^2+\frac{1}{8}q^2_i\omega^2) \tag{2.1.5}$$

久期运动的能量能被激光冷却减少。当振幅 $A_i$ 被减少时，相应的微运动也减弱相同的比例。在这种情况下，离子的运动能只用频率微 $\omega_i$ 的简谐振子来近似。对于具有上述参数的阱，$\omega_x\approx(2\pi)2.25 MHz$。
$\quad$ 直到现在，我们已经学习了 “理想” 四杆式阱的工作原理。但是真实的实验情况是更加复杂的。下面的内容描述了实际实现中更多的技术细节。

# 四杆式阱的构建

$\quad$ 我们的四杆式阱和真空室的近似图片如$Fig.2.1.2$ 所示。

$\quad$ 我们用电化学抛光对所有的八个电极进行了几分钟的预处理，以去除铁锈并获得更好的圆柱体形状。如何用砂纸将 $z$ 方向的两个直流电极的头部磨成锥体。直流电极和射频电极安装在一对 5 孔陶瓷管上，该陶瓷管由激光加工切割和钻孔。但是，即使有完美的设计，加工质量仍然是制造稳定阱的限制因素。作为一个克服这类限制的方案，完美制造了许多陶瓷管，然后只选择最匹配的一对来实际使用。我们对所有管子的表面进行拍照 (Fig.2.1.3)，然后运用 Mathematical 进行图像处理来分析。
$\quad$ 同样的程序也被用来识别和拟合实时离子晶体图像中每个离子的高斯边界。通常，我们使用 “CPO3D” 的仿真软件去模拟和验证所有这些电极产生的整个静态场。
$\quad$ 围绕着阱，有四个原子炉被安装作为原子源，分别装满了中性$\text{Yb}$，$\text{Yb} 171$，中性$Ba$ 和$Ba 171$。目前大多数实验只使用$^{171}\text{Yb}^+$ 离子进行。当我加载$^{171}\text{Yb}^+$ 离子时，通常将 3A 的直流电流施加到电阻为 0.5 欧姆的不锈钢管上。在这个参数下，离子将一个接着一个地跳入阱中。这个直流电需要打开几分钟直至我们完成加载。
$\quad$ 为了将离子的平衡位置带到阱的$X-Y$ 平面中心，在阱外增加两个额外的圆柱形钨钢电极来补偿背景电场。我们用 3D 设计软件 “Autodesk Inventor” 设计阱支架、原子炉和整个阱组装过程。

# 螺旋谐振器的特征

$\quad$ 一个自制的工作在$12MHz$ 附近的高品质放大器，被称为螺旋谐振器 [26]，有着较好的高放大低噪声，它被用来提高强的射频场。螺旋谐振器的有效腔长决定了它的共振频率。越小的腔有着越高的共振频率。功率放大比与腔体品质因子 $Q$ 成正比。为了测量品质因子 $Q$，我们对输入频率进行扫描，测量反馈信号频谱的中心频率 $\omega$ 和频宽 $\delta\omega$。然后

$$Q\approx\frac{\omega}{\delta\omega}$$

根据我们的经验，端盖与主管之间的电阻越小，品质因子越高。用砂纸对铜表面进行抛光，用磷酸洗涤后，加入阱后的品质因子$>200$，而不加阱的品质因子$>400$。传输到阱的能量由驻波功率计来监测。我们使用快速的射频开关在两个不同的功率水平之间切换。~$0.1W$ 的功率在加载阶段被使用，~$0.2W$ 的功率当我们操纵运动的侧带时被使用。反馈信号一直被监测，并且表现螺旋谐振器的 “健康” 状态。因为腔长是对温度是敏感的，为了保护螺旋谐振器不受实验室温度波动的影响，搭建了一个填充泡沫聚苯乙烯花生的屏蔽盒。
$\quad$ 通常，主管和接口与短路 BNC 接头连接良好。在标准配置中，阱中的射频棒和接地帮之间的直流电平差为零，导致沿 $X$ 和 $Y$ 轴的阱频率相等。但是，对于声子相关的实验，我们需要拆分简并的$X$ 模和$Y$ 模，以单独控制不同种类的声子。此时，我们用一个电容器来取代短路的 BNC 接口，以此保持谐振腔电路仍在工作，并在该电容器的两端施加几伏的直流电压。这种配置导致射频棒和接地棒之间的直流电平不同，并且导致了一个相比于它们拉比频率更大的模式分裂。

# 真空系统

# 超高真空的制备

$\quad$ 真空系统主要的几部分被一些厚的不锈钢管连接起来。两个管子的连接法兰被铜垫圈所密封。当我们用法兰螺栓和螺丝紧紧连接时，铜垫圈被夹紧且被刀口紧紧包围，这是因为铜比不锈钢更软。所有螺丝应以 “Zig-Zag star” 方式拧紧，以此保持均匀的密封深度。在最后组装之前，所有的真空部件都要在乙醇和丙醇的交替沐浴中清洗几次。除了一些复合组件，例如反馈通路和视口，我们使用超声波发射器来清洁它们中的大多数部件。然后，所有金属部件都用一个大的高温烤箱进行空气烘烤，以获得氧化铬涂层。这个涂层能够阻止真空部件的材料吸收空气中的气体，从而减小出气量。我们的真空系统的设计草图如图$2.2.1$ 所示。
$\quad$ 在真正组装之前，整个系统应测试性地用 Autodesk Inventor 组装，如图$2.2.2$ 所示。
$\quad$ 在我们组装完真空系统后，真空泵的四个等级 (机器泵、涡轮分子泵、大离子泵、小离子泵、钛升华泵) 被用来制备超高真空环境。这些真空泵的图片如图$2.2.3$ 所示。
$\quad$ 机器泵第一个被打开用来排出大部分空气。当真空度低于 $10^{-4} \text{torr}$ 时，位于机器泵顶部的涡轮分子泵被打开。涡轮分子泵有一个快速的旋转速度 $(\sim20,000 \text{RPM})$，这能够使它的叶片达到与分子速度相当的速度。分子被机械地向下偏转，然后被机器泵清除。当真空度低于 $10^{-8}\text{torr}$ 时，$H_2O$ 是保留在系统中的主要分子之一。因此，大烤箱再次用于真空烘培。将真空系统加热到 $200^\circ C$ 左右，持续约一周，以此加快排气过程，并完全蒸发水层。在烘烤过程中对钛升华泵进行脱气，并开启大离子泵。离子泵基本上是一个由高压放电供给电子的 Penning 阱。背景气体分子被高速电子所电离。分子的碎片被吸引到阴极上并卡在那里。一些中性的构成成分则可以被泵壁上的 “吸气剂” 材料所吸收。烘烤完成后，在温度开始下降前将烘烤阀密封。这样就切断了内部真空系统与外部泵的联系。最后，当系统回到室温时，以步进大电流 $(\sim 40A)$ 多次打开钛升华阱，以去除剩余的氢，这种氢是超高真空环境的主要成分。液氮冷却可以大大提高泵的转速。小离子泵始终处于开启状态，使真空压力保持在 $10^{-10}\text{torr}$ 以下。
$\quad$ 在整个真空筹备阶段，使用一个称为 “RGA” 的质谱仪和几个 真空计来检测泄漏和测量真空。泄漏往往发生在密封处和玻璃 - 金属过渡处。在早期阶段，一个快速的泄漏测试是通过向所有可疑的地方喷洒丙酮，并观察两个方向的压力变化。丙酮可以暂时密封泄漏或通过它蠕变，这导致一个明显的真空压力下降或上升。而更加精密的泄漏测试，我们需要使用高度灵敏的氦泄漏检测，因为氦是在自然空气中十分稀有的，所以该检测法能够发现小到 $10^{-11} \text{torr L/s}$ 的泄漏。它的操作与丙酮法非常相似，除了我们需要使用质谱仪来监测真空系统中氦的分压。它能够检测低至 $10^{-14} \text{torr}$ 的分压。一旦我们找到可疑（可能存在泄漏）的地方，我们可以使用一个装满氦气的塑料袋来发现最微小的泄漏。

# 背景气体碰撞率的估计

$\quad$ 通过整个工序，我们可以获得压强大概为 $10^{-11}\text{torr}$ 的超高真空。在这样的压强下，离子与背景气体粒子之间的碰撞是很少发生的。在这些碰撞中，被囚禁粒子产生的电场使得背景中性分子发生极化。我们使用一个基础的二体模型来分析这一过程，其中感应电偶极子存在于单电源电场中。这个模型有一个库仑相互作用势 [28.29]

$$V(r) = -\frac{C_4}{2r^4} \tag{2.2.1}$$

，其中

$$C_4 = \frac{\alpha q^2}{(4\pi\epsilon_0)^2} \tag{2.2.2}$$

对于在质心坐标系中给定的初速度，存在一个临界屏障初始距离 $b_v$，低于这个距离的电偶极子将被离子捕获。屏障将 “弹性” 碰撞和 “非弹性” 碰撞分开。“非弹性” 碰撞中的离子穿过了角动量屏障，可能会交换电荷，甚至于被囚禁的离子发生化学反应 (例如，$\text{Yb}^+ + \text{H} \longrightarrow \text{YbH}^+$)，这导致了离子的有效损失。但是，只有两个碰撞粒子的间距靠近临界原子维度时，才会发生非弹性碰撞 [30]。
$\quad$ 定义 $r$ 作为距离，$v$ 作为氢偶极子和中心 $^{171}\text{Yb}^+$ 之间的切向速度。这个系统应该满足如下方程：

$$\begin{cases} \mu vr = L \\ \frac{1}{2}\mu\dot{r}^2+\frac{1}{2}\mu v^2+V(r)=E \\ \mu(\ddot{r}-\frac{v^2}{r})=-\frac{dV(r)}{dr} \end{cases} \tag{2.2.3}$$

其中角动量 $L$ 和总能量 $E$ 都是守恒量。换一个向心加速度和氢一样的参考系，那么我们就有了一个额外的离心势，该离心势总是等于切向动能

$$V_c(r) = \frac{L^2}{2\mu r^2} = T(\frac{b}{r})^2 \tag{2.2.4}$$

其中

$$T = \frac{L^2}{2\mu b^2}$$

是在初始距离为 $b$ 的输出动能。注意，我们可以通过选择合适的初始参考系令初始径向速度 $\dot{r}=0$。定义有效势能

$$V_{eff} = V(r) + V_c(r)$$

，然后方程变为

$$\begin{cases} \frac{1}{2}\mu \dot{r}^2 = E-V_{eff}(r) \\\\ \mu\ddot{r} = -\frac{dV_{eff}(r)}{dr} \end{cases} \tag{2.2.5}$$

有效势能和非弹性碰撞过程的草图如图 $2.2.4$ 所示。

$\quad$ 当有效势能到达最大值时

$$V_M = \frac{T^2b^4}{2C_4}$$

而距离为

$$R = \sqrt{\frac{C^4}{Tb^2}}$$

此时径向加速度变为零。如果总能量 $E$ 大于这个能量屏障 $V_M$，则仍然保留有径向速度 $\dot{r}|_{r=R}<0$。这样，偶极子肯定会坍缩到离子中心，发生非弹性碰撞。所以临界屏障初始距离 $b$ 应该满足

$$V_M = E = V_{eff}(b) = T+V(b) \tag{2.2.8}$$

解这个方程，我们有

$$b_v = (\frac{C_4}{T})^{\frac{1}{4}} = (\frac{2C_4}{\mu v^2})^{\frac{1}{4}} \tag{2.2.9}$$

利用 Langevin 速率常数，可以推导出背景氢分子非弹性碰撞率的估计上限

$$k_{\text {Langevin }}=\sigma_{\text {Langevin }} v=\pi b_v^2 v=\pi \sqrt{\frac{2 C_4}{\mu}}=\frac{q}{4 \epsilon_0} \sqrt{\frac{2 \alpha}{\mu}} \approx 5.382 \times 10^{-6} \mathrm{~mm}^3 \mathrm{~s}^{-1} \tag{2.2.10}$$

其中 $\text{Yb}$ 的静态偶极极化率为

$$\alpha=143 \mathrm{au}=2.358 \times 10^{-39} \mathrm{C}^2 \mathrm{~m}^2 \mathrm{~J}^{-1} \tag{2.2.11}$$

氢和 $\mathrm{Yb}$ 的约化质量为

$$\mu=\frac{(2 \times 171) /(2+171) \mathrm{g} / \mathrm{mol}}{N_A}=3.322 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} \tag{2.2.12}$$

注意，在 Langevin 速率常数中，与速度 $\vec{v}$的关系被消除。在一个 $5 \mathrm{~nPa}~(\approx 4\times 10^{-11} \mathrm{torr})$ 的压强以及 $300\mathrm{~K}$ 的室温温度下，氢的分子密度为

$$n = \frac{P}{RT} = 1206.73 \mathrm{/mm}^3 \tag{2.2.13}$$

我们有 Langevin 碰撞率为：

$$\gamma_{\text{Langevin}} = nk_{\text{Langevin}} \approx 0.006 \mathrm{/s} \tag{2.2.14}$$

或者说大约每 3 分钟发生一次碰撞。然而，实验中，在多普勒冷却始终打开的情况下，囚禁的 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子的寿命有数天，这表明至少对于基态 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子，与背景气体成分发生化学反应的可能性很小。除了非弹性碰撞，背景气体也可以通过弹性碰撞来传递能量加热被囚禁的离子。在准经典极限下，总弹性碰撞截面 [33] 为

$$\sigma_{\text {elastic }}=\pi \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{\alpha^{\prime} q^2}{16 \epsilon_0 \hbar v}\right)^{\frac{2}{3}} \tag{2.2.15}$$

其中 $\alpha'=\alpha/(4\pi\epsilon_0)$。背景氢速度热分布的平均值为

$$f(v) = \frac{4v^2}{\sqrt{\pi}\tilde{v}^3}e^{-(v/\tilde{v})^2} \tag{2.2.16}$$

其中均方根速度为

$$\tilde{v} = \sqrt{\frac{2k_BT}{\mu}} \approx 1578.7 \mathrm{~m/s} \tag{2.2.17}$$

弹性频率率常数为

$$\begin{aligned} k_{\text {elastic }} & =\braket{\sigma_{\text {elastic}} v} \\ & =\int_0^{\infin} \sigma_{\text {elastic}} v f(v) d v \\ & =4 \sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{q^2}{16 \epsilon_0 \hbar}\right)^{\frac{2}{3}} \int_0^{\infin} v^{7 / 3} e^{-(v /)^2} d v \\ & =1.228 \times 10^5\left(\alpha^{\prime}\right)^{2 / 3} \tilde{v}^{1 / 3} \\ & \approx 1.095 \times 10^{-4} \mathrm{~mm}^3 \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} \tag{2.2.18}$$

而弹性碰撞率为

$$\gamma_{\text{elastic}} = nk_{\text{elastic}} \approx 0.132 \mathrm{/s} \tag{2.2.19}$$

虽然每次弹性碰撞平均传递给被囚禁离子的能量是大量的，但我们可以得出结论，在典型的超高真空压强下，这种碰撞也很少见。两种弹性碰撞之间的平均间隔 $(\approx 10 \mathrm{s})$ 比单次实验所需时间 $(\approx 10 \mathrm{ms})$ 要长得多，因此弹性加热碰撞可以忽略不计。这使得我们的离子非常稳定：离子在实验中很少消失，即使没有激光冷却也能存活数个晚上。

# Chapter3 囚禁离子的日常操作

$\quad$ 被囚禁离子的某些内部电子能级之间的跃迁可以用作存储量子信息的量子比特。离子在阱势中的运动振子也作量子比特来使用，在不同离子之间传递量子信息。两种量子资源都可以通过利用激光或射频源产生的外部电磁场来初始化、操纵和测量。
$\quad$ 我们对囚禁离子的日常操作主要包括：电离、多普勒冷却、光抽运和态探测。使用了许多与 $^{171}\text{Yb}^+$ 的光辐射跃迁有关的激光器。这些激光操作主要涉及以下技术：

1. 光学寻址。反射镜、分束器、透镜和跃迁态，以精确地在离子位置定位每个激光束。
2. 光学观察。光学透镜阵列收集、传输和放大离子荧光图像。
3. 频率调制。电光调制去产生频率边带，声光调制去移动中心频率并充当光学开关。
4. 频率稳定。稳定激光频率的光学腔、蒸汽池、光电二极管和反馈电路。

# 被囚禁离子的主要光学跃迁

$\quad$ 对于核自旋为 $I=1/2$ 的离子，例如 $^{171}\text{Yb}^+$，它的基态能量是简并的，并分裂成几个塞曼能级。我们使用在 $^2\text{S}_{1/2} \leftrightarrow ^2\text{P}_{1/2}$ 之间的光学偶极跃迁作为激光冷却、态初始化和态探测的主要循环途径。超精细结构和光学辐射跃迁如图 $3.1.1$ 所示。

$\quad$ 对于态探测，我们用蓝色实线画出跃迁标记。离子从 $^2\text{S}_{1/2}:\ket{F=1}$ 被激发到 $^2\text{P}_{1/2}:\ket{F=0}$ 的态上。它只能在哪存活很短的时间（寿命为 $\tau=8.07 \mathrm{~ns}$）。然后它自发辐射出一个光子并回到 $^2\text{S}_{1/2}:\ket{F=1}$ 的其中一个态中。整个循环可以快速重复许多次，直到我们收集到足够的光子。通过这个过程，我们可以轻易地区分暗态 $^2\text{S}_{1/2}:\ket{F=0}$ 并测量它的布居数，这是由于它从未被接触过且不会辐射出光子。我们使用 $\pi$ 旋转门将其他态与暗态交换，然后测量它的布居数。对于态的初始化，我们需要用棕色虚线标记额外的跃迁。此时，离子从 $^2\text{S}_{1/2}:\ket{F=1}$ 被激发到 $^2\text{P}_{1/2}:\ket{F=1}$ 的态上，并且有一个机会通过青色虚线跳到暗态 $^2\text{S}_{1/2}:\ket{F=0}$ 上。然而，当离子处于暗状态时，它没有机会跳回到其他态上。经过多次循环后，所有的布居数都被转移并初始化到暗态上。对于激光冷却，我们所做的是通过所有可能的方式将离子从 $^2\text{S}_{1/2}$ 激发到 $^2\text{P}_{1/2}$ 上，这可以用蓝色实现和青色虚线标记的跃迁来实现。
$\quad$ 利用 Wigner-Eckart 定理，可以计算不同跃迁的偶极矩阵元

$$\begin{aligned} \bra{jm}T^{(k)}_q\ket{j'm'} &= \braket{j' m' kq|jm} \bra{j}|T^{(k)}|\ket{j'} \\ &= (-1)^{j-m} \bra{j}|T_k|\ket{j'} \left(\begin{matrix} j & k & j' \\\\ -m & q & m' \end{matrix}\right) \end{aligned} \tag{3.1.1}$$

其中对于偶极跃迁来说 $q=m-m'$ 且 $k=1$。约化矩阵元能够用如下的公式计算

$$\begin{aligned} \braket{(j_1j_2)j||T^{(k)}||(j_1'j_2')j'} = (-1)^{j_1+j_2+j'+k} \bra{j_1}|T_k|\ket{j'_2} \sqrt{(2j+1)(2j'+1)} \left\{\begin{matrix} j_1 & j & j_2 \\\\ j' & j'_1 & k \end{matrix}\right\} \end{aligned} \tag{3.1.2}$$

当 $\vec{j}=\vec{j}_1+\vec{j}_2$ 时，$T^{k}$ 与 $j_2$ 相关联，但不与 $j_1$ 相关联^[1]。对于在超精细能级之间的光学跃迁

$$\ket{l=0,s=1/2,j=1/2,I=1/2,F,m} \leftrightarrow \ket{l=1,s=1/2,j=1/2,I=1/2,F,m}$$

，我们首先在 $j=F$ 示应用方程$(3.1.1)$，然后应用两次方程$(3.1.2)$。第一次我们使用 $\vec{F}=\vec{j}+\vec{I}$去得到 $\braket{(jI)F||T^{(1)}||(j'I')F'}$。第二次我们使用 $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$去得到 $\braket{(ls)j||T^{(1)}||(l's')j'}$。然后，当 $l'=l+1$ 时，应用球谐基底表示的位置算符 $r$ 进行计算

$$\bra{l}|T^{(1)}|\ket{l'} = \braket{T^{(1)}} (l-l') \sqrt{\max(l,l')} \tag{3.1.3}$$

用这个方式，我们最后可以写出相关的跃迁项

$$\begin{aligned} \Omega(\ket{ljFm},\ket{l'j'F'm'}) &= (-1)^{1+F_1+F_2+j_1+j_2+l_1-m_1} (l_1-l_2) \max(l_1,l_2) \\&\qquad \sqrt{(2F_1+1)(2F_2+1)(2j_1+1)(2j_2+1)} \\&\qquad \left\{\begin{matrix} j_1 & F_1 & 1/2 \\\\ F_2 & j_2 & 1 \end{matrix}\right\} \left\{\begin{matrix} l_1 & j_1 & 1/2 \\\\ j_2 & l_2 & 1 \end{matrix}\right\} \left\{\begin{matrix} F_1 & 1 & F_2 \\\\ -m_1 & m_1-m_2 & m_2 \end{matrix}\right\} \end{aligned} \tag{3.1.4}$$

在表$(3.1)$ 中，展示了 $^{2}\text{S}_{1/2}\leftrightarrow {^{2}\text{P}_{1/2}}$ 之间的所有跃迁项。
$\quad$ 我们可以很轻易地用这个表验证熟悉的 “选择规则”。一个简单的计算跃迁项的 Mathematica 代码见附录 A。

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \\ {^{2s+1}l_j:\ket{F,m}} & {^2\text{S}_{1/2}:\ket{0,0}} & {^2\text{S}_{1/2}:\ket{1,-1}} & {^2\text{S}_{1/2}:\ket{1,0}} & {^2\text{S}_{1/2}:\ket{1,1}} \\\\ \hline\\ {^2\text{P}_{1/2}:\ket{0,0}} & {\text{0}} & {\text{-1/3}} & {\text{-1/3}} & {\text{-1/3}} \\\\ \hline\\ {^2\text{P}_{1/2}:\ket{1,-1}} & {\text{1/3}} & {\text{1/3}} & {\text{1/3}} & {\text{0}} \\\\ \hline\\ {^2\text{P}_{1/2}:\ket{1,0}} & {\text{-1/3}} & {\text{-1/3}} & {\text{0}} & {\text{1/3}} \\\\ \hline\\ {^2\text{P}_{1/2}:\ket{1,1}} & {\text{1/3}} & {\text{0}} & {\text{-1/3}} & {\text{-1/3}} \\\\ \hline \end{array}$$

$$(\text{表3.1: }^{2}\text{S}_{1/2}\leftrightarrow {^{2}\text{P}_{1/2}}\text{之间的全部跃迁项})$$

# 电离与 “载入”

$\quad$ 一旦我们理解了这些阱的基本原理，下一步就是如何真正地 “装载” 离子。这个过程如图 $3.2.1$ 所示。

$\quad$ 第一步是将原子炉加热到升华温度。对于 $\text{Yb}$ 离子，在超高真空下的锅炉温度为 $400\degree C$ [34]。炉内的金属粉末会融化并气化。然后由几千个原子的原子束会从炉中发射出来，并且射向阱中。一些中性原子被照射在阱周围的强烈激光击中，电离成离子。一旦它们变成离子，就会被强的电磁阱势所囚禁，并且不得不在阱中心附近振荡。
$\quad$ $\text{Toptica}$ 二极管激光器提供的一个 $~500\mu W,398.9108\mathrm{~nm}$ 光束，和 $\text{Toptica}$ $\text{SHG}$ 激光器提供的一个 $~5mW,369.5263\mathrm{~nm}$ 光束都用于电离过程。两个光束都在阱中心聚焦～$50\mu m$ 的腰束。通过这些光束的中性 $\text{Yb}$ 原子就会通过共振协助二色双光子跃迁的方程被光子电离：$398.9108\mathrm{~nm}$ 的光将 $\text{Yb}$ 原子从 $^1S_0$ 激发到 $^1P_1$ 上，同时 $369.5263\mathrm{~nm}$ 的光能够促进电子进入连续体 [35]。根据原子炉与电离光束之间的夹角，额外的多普勒频移被考虑，以此提高电离效率。百叶窗用于阻挡光束并控制手动载入过程。
$\quad$ 此时，这些热离子仍然具有很大的动能，在阱中不稳定。它们从近共振但红失谐的光束中吸收光子，然后自发地以均匀概率向各个方向发射光子。在成百上千次这样的循环后，它们沿激光光束方向的动能将会被有限地减小。这个过程称为多普勒冷却。旋转三轴小角度的多普勒冷却光束，可以有效地冷却离子的振荡能量。

# 多普勒冷却与光抽运

$\quad$ 另一对光束用于多普勒冷却。其中一个是 $~50\mu W,369.5263\mathrm{~nm}$ 的光束，它稍微红失谐与 $^2S_{1/2}\leftrightarrow{^2P_{1/2}}$ 的光学跃迁。处于 $^2S_{1/2}$ 的离子能够吸收一个激光光子，然后跃迁到寿命仅为 $8.7\mathrm{~ns}$ 的 $^2P_{1/2}$ 上，之后他会往任意方向概率均匀地自发辐射出一个光子。通常，在任何其他量子操作之前，需要多普勒冷却光束照射一毫秒，以确保离子被冷却到接近多普勒极限。该多普勒冷却光束具有由 $\text{LabBrick}$ 驱动的电光调制器提供的 $14.74\mathrm{~GHz}$ 边带，以覆盖超精细水平之间所以可能跃迁。另一束 $~10mW,935.1882\mathrm{~nm}$ 的激光是辅助用的，但却很重要。它被用来将 $0.5\%$ 泄漏到亚稳态 $^2D_{3/2}$ 上的离子重新泵回主循环中，从而完成稳定的多普勒冷却方案。这个光束有一个 $3.1\mathrm{~GHz}$ 的边带。
$\quad$ $369.5\mathrm{~nm}$ 和 $935\mathrm{~nm}$ 的激光光束相应的 $^{171}\text{Yb}^+$ 能级示意图如图 $3.3.1$ 所示。

$\quad$ 有时，离子可能会因为与残留的背景气体碰撞，落入 $^2F_{7/2}$ 态上。一个在 $638.6101\sim638.6151\mathrm{~nm}$ 附近的 $~50\mathrm{~mW}$ 激光束可以使 $^2F_{7/2}$ 的布居数减少，并使离子返回到四能级多普勒冷却方案中。通过多普勒冷却，离子的温度能被降低到多普勒极限

$$T_D \approx \frac{\hbar\gamma}{2k_B} \approx 470 \mathrm{~\mu K}$$

其中 $\gamma=(2\pi)19.7\mathrm{~MHz}$ 为 $^{171}\text{Yb}^+$ 冷却跃迁的线宽。多普勒冷却过程产生的荧光也表示了每个离子的位置，可以用 $\text{CCD}$ 相机观测。另一个 $369.5263\mathrm{~nm}$ 光抽运光束被用来去初始化 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子到 $\ket{F=0,m=0}$ 的态中。在我们的四能级系统中将这个态标记为 $\ket{1}$。不同于多普勒冷却光束，光抽运光束通过一个 $2.105\mathrm{~GHz}$ 的电光调制器所调制出来的。它的边带不能覆盖来自 $\ket{F=0,m=0}$ 的跃迁，这意味着 $\ket{F=0,m=0}$ 永远不能被激发，但其他态能够通过自发辐射落入 $\ket{F=0,m=0}$ 中。所以，在一串循环后 $(\sim5\mathrm{\mu s})$，$^{171}\text{Yb}^+$ 离子将以高保真度 $(>99.5\%)$ 处于 $\ket{F=0,m=0}$ 态上。所有这些激光束最终通过真空室上的透镜和小视孔照射到阱的中心。每个透镜都安装在一个三维过渡阶段，它提供了一个坚定的支持，以及光学系统的精确控制。
$\quad$ 所有 $369.5\mathrm{~nm}$ 激光束的光路如图 $3.3.2$ 所示。

$\quad$ 声光调制器被用作快速的光学开关，能够被 $\text{TTL}$ 信号自动控制。为了减小能够降低光抽运效率的光学泄漏和背景散射，必须保持强电离光束和多普勒冷却光束的良好光束轮廓。

# 态探测

$\quad$ 根据我们的量子态探测方案，用一个 $369.5263\mathrm{~nm}$，只能与 $^2S_{1/2}\ket{F=1}\leftrightarrow {^2P_{1/2}\ket{F=0}}$ 跃迁相共振的探测光束能够测量暗态 $\ket{1}$ 的布居数。如果辐射光子的计数率是低于探测阈值 $\sim 1/300 \mathrm{\mu s}$，则我们将其其布居数定义为零，这意味着离子都处于暗态了。相反，若布局数为 $1$，则意味着离子在明态 $\ket{2},\ket{3},\ket{4}$ 的其中一个上。通过平均数百次重复实验的探测结果，我们可以得到一个十分准确的暗态 $\ket{1}$ 与明态的估计。图 $3.4.1$ 展示了 $\text{PTM}$ 计数和在光抽运前后的相应明态布居数。

$\quad$ 一个用 $\text{OSLO}$ 软件设计的二级光学观测系统被用来收集来自离子的荧光。我们的光学观测系统草图展示与图 $3.4.2$。

$\quad$ 采用短焦距和大数值孔径的显微物镜作为第一级探测，以此最大限度地提高检测透镜与离子的立体角（在我们的例子中为 $\approx 0.77 \%$）。在第二级中，一组放大镜将图像投影到光学探测装置的敏感表面。我们放置了一个 $\text{CCD}$ 相机在第二级的一端，用来观测离子的艾里斑；而在另一端放置了一个 $\text{PMT}$，用来计数辐射光子。用 $\text{CCD}$ 还是 $\text{PMT}$ 观测可以通过翻转镜来切换。两个 $370$ 纳米的窄带滤光片被插到光学管中，以过滤其他波长光子引入的背景噪声。图 $3.4.3$ 为离子多普勒冷却点的 $\text{CCD}$ 图像。

$\quad$ 对于离子寻址校准，通常我们使用阴影或者 $\text{CCD}$ 相机图像的杆和针来帮助确定我们阱的几何中心。不幸的是，通常阱的几何中心却不完全是阱的中心。因此，对于第一次离子寻址，我们总是用一个大的电流来载入 $^{174}\text{Yb}^+$ 离子，直到所有离子形成一个宽的晶体结构。这个宽的晶体结构在我们的 $\text{CCD}$ 相机上看起来像一朵云。这样就有可能在阱的几何中心看到离子云的一些边缘。根据这一特征，我们可以将物镜和所有激光束逐步移动到云的中心。校准过程通过载入单个 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子并最大化其探测计数来完成。

# 过度的微运动补偿

$\quad$ 对于多个离子，沿着四杆式阱 $z$ 轴方向的小交流电场泄漏是不能被忽视掉的。这种情况会在运动解中增加一个额外的微运动项。除此之外，也会有其他一些因素造成微运动项：

1. 由于加工或组装造成的几何形状不完美
2. 额外的外场
3. 交流电极之间的相位差

$\quad$ 与之前那些不可避免的微运动不同，这些 “过量” 的微运动不能通过冷却来显著地减速 [37]，我们要尽可能地消除它们。在前两种情况下，离子的默认平衡位置会从阱的 $z$ 轴方向偏移。当我们改变阱的深度，例如改变驱动射频场的功率，离子的位置也会随之改变。我们可以利用这一现象，通过快速在高电平和低电平之间切换驱动射频场的功率，来估计过量微运动的幅度。这个射频开关的上升时间必须小于一个阱周期 $(\sim 8 \mathrm{~ns})$，以确保离子不会被释放。
$\quad$ 为了测量粒子微运动频率的时间相关性，以及沿一定方向的多普勒冷却荧光速率的时间相关性，我们构建了一个基于 $\text{FPGA}$ 的分辨率为 $2\mathrm{~nm}$ 的 $\text{TDC}$ (时间数字转换器)。光子到达 $\text{PMT}$ 的时间被记录下来，并于射频阱的驱动电压相位进行比较。如果离子的运动受到微运动的影响，则会由于多普勒效应，离子对光子的吸收和发射过程将被调制在该频率上。当速度较低时，离子将会吸收更多的光子，反之亦然。在 $\text{TDC}$ 的直方图中，这显示为正弦曲线，其频率等于为运动的频率（也等于驱动射频的频率）。我们使用这种时间相关模式作为指示器来调整施加在这些微运动补偿电极上的电压。通过消除 $\text{TDC}$ 谱中相关峰值，可以有效地抑制微运动。另一种精确补偿微运动的方法是基于减少受激拉曼跃迁光谱中运动边带或 $935\mathrm{~nm}$ 激光 [38]。
$\quad$ 为了分离变量，必须成对地改变施加在补偿电极上的电压，使离子仅沿某一方向或仅垂直于某一方向移动。对于离子的位置方案，该方向为物镜平面；对于 $\text{TDC}$ 方案，该方向为多普勒冷却光束入射方向；对于运动边带方案，该方向是阱的 $X,Y$ 轴。最终补偿电压的范围从几伏特到几百伏特，主要却决于阱电极的几何形状。有时，即使在强激光束击中阱的陶瓷绝缘体部分后，或者在 “加载” 失败导致有太多原子在周围徘徊后，微运动条件也会发生很大变化。
$\quad$ 每个微动补偿电极和轴向约束电极的电压都可以通过 $\text{ISEG}$ 高压模块单独控制。利用 $\text{LabVIEW}$ 编写的自定义控制程序，以任意比例同时改变其中一些电极的电压。

# 激光稳频

$\quad$ 在 $^{171}\text{Yb}^+$ 高效的量子操纵需要 $369.5263\mathrm{~nm}$ 和 $935.1882\mathrm{~nm}$ 激光在此频率上是稳定的，尤其是 $369.5263\mathrm{~nm}$ 的激光的频率要稳定在实验中相应跃迁的线宽范围内。一般来说，二极管激光器对温度和电流是非常敏感的，并且在没有进一步稳频的情况下会有巨大的波动。因此，我们利用 $\text{Pound-Drever-Hall(PDH)}$ 方法补偿快速的波动，将 $739.0526\mathrm{~nm}$ 的激光（经过 $\text{SHG}$ 后变为 $369.5263\mathrm{~nm}$ 激光）锁定在 $\text{F-P}$ 腔内。然后，$\text{F-P}$ 腔的长度在外部锁定到由颠蒸汽池系统提高的绝对频率参考，以补偿主要由温度引起的长期漂移。采用 $\sim 13 \text{~GHz}$ 光纤电光调制器将激光频率移动到碘光谱上。碘锁定系统如图 $3.6.1$ 所示。

$\quad$ 该锁定系统工作良好，由小于 $1\mathrm{~MHz}$ 的高精度。通过运行在主控制计算机上的 $\text{LabVIEW}$ 程序，改变光纤电光调制器的驱动频率，可以很容易地控制锁定点。锁定系统的整个示意图展示在图 $3.6.2$ 中。

$\quad$ 锁定系统中有两种重要的电子设备。第一种是 $\text{PID}$。$\text{PID}$ 是 “比例（proportional）、积分（integral）、微分（derivative）” 的缩写。$\text{PID}$ 接受偏离装置输入的误差信号，进行计算后输出反馈信号给调节装置。这种方式适用于实时自动控制、锁定或同步。顾名思义，$\text{PID}$ 的计算单元由 3 个分量组成，输出它们的加权和作为最终反馈信号。原则上，我们可以通过设置 3 个分量合适的参数来制造任意系统的自动反馈回路。另一种重要的器件是锁相放大器，它对于从杂乱背景中获得微弱信号非常有用。它是利用三角函数的正交性：

$$\int^{\pi}_{-\pi} \cos(mx)\cos(nx)dx = \pi\delta_{mn},\quad m,n\ge 1$$

如果我们将噪声信号与参考信号相乘并进行积分，那么除了与参考信号频率相同的信号外，所有信号都消失了。锁相放大器就一个可以模拟这一数学过程的器件，它有一个混频器来做乘法，一个低通滤波器来扔掉高频项，一个集成电路来做最后的积分。直接测量的偏差信号往往由于功率波动而产生很大的噪声，并且丢失了反馈回路所必需的方向性信息。因此，在锁定系统中，我们通常在源信号上施加一些低频调制，然后使用锁相放大器来拾取低频的携带幅度包络，这可以看作是相对与频率的方向导数信号。
$\quad$ 在我们的腔锁定系统中，$740\mathrm{~nm}$ $\text{Toptica}$ 二极管激光器控制器盒子内的 $\text{PDH}$ 模块对外腔二极管激光器的衍射光栅压电进行频率为 $\omega_m$ 的电压调制。输出频率为 $\omega$ 的激光通过 $\beta\sin(\omega_mt)$ 进行相位调制，可以表示为具有一个载流子和两个边带的电场：

$$\begin{aligned} E &= E_0 e^{i(\omega t+\beta\sin(\omega_m t))} \\ &\approx E_0 e^{i\omega t} [1+i\beta\sin(\omega_mt)] \\ &= E_0 e^{i\omega t} [1+\frac{\beta}{2}e^{i\omega_mt}-\frac{\beta}{2}e^{-i\omega_mt}] \end{aligned}$$

在我们的激光装置中，相位调制也被广泛地应用于电光或声光调制器中，以此丰富频率构成。我们的 $\text{F-P}$ 双镜腔的激光频率反射能量信号是一个单峰函数，其性质类似于锐正态分布函数。$\text{PDH}$ 模块，通过一个由相位偏离器、混频器和低通滤波器构成的电路，从光电探测器接收反射信号并提取出方向导数信号，其功能与锁相放大器相似。对于有确定的腔长，导数信号的中心斜率告诉我们激光频率与腔共振激光频率偏离了多少。而这个偏差总是等于目标频率减去目前的频率，适合作为 $\text{PID}$ 补偿激光频率的误差信号。然后将 $\text{PID}$ 直流输出加到外腔二极管激光器的压电上，使输出激光的频率与外腔二极管激光器的频率保持同步，即锁定到腔的谐振激光频率上。$\text{PDH}$ 方法的更多形式和数学描述可以在 $\text{PDH}$ 的原始论文中找到 [39]。
$\quad$ 采用自行设计的一体高精度共聚焦腔体，其用硬质铟钢制造，腔锁定系统十分稳定，甚至可以承受巨大的机械冲击，同时保持锁定。铟钢材料的超低热膨胀率也使腔体长度对实验室温度不敏感。但是，为了将 $739.0526\text{~nm}$ 激光锁定在 $1\text{~MHz}(\approx 1.8\text{~fm})$ 内，对于 $15\text{~cm}$ 的腔，所需的腔长波动应该在以下范围内：

$$\frac{2L}{\lambda}\Delta\lambda = \frac{2L\lambda}{c}\Delta f \approx 0.74\text{~nm}$$

为了满足这一要求，一种方法是将我们的腔放置到高度隔绝的环境中，例如真空或低温恒温器，这有助于提高腔的良好行。另一种更简单的方法是使用一些绝对频率参考来锁定腔的长度，例如 $\text{Rb}$ 稳定腔。这个方法依赖于你的目标频率附近是否存在绝对的参考频率。幸运的是，碘分子在 $13531.2773 \text{~cm}^{-1}$ 处有一个吸收峰，对应波长为 $739.028532 \text{~nm}$，接近于我们的目标波长 [40]。碘在常态下是固体。将碘放入真空蒸发器中，蒸发器被加热胶带包围并加热，保持在约 $300\degree\text{C}$ 高温下，直到碘气化并填充满整个蒸汽器。直接测量会由于热碘分子的多普勒效应导致吸收峰偏移。所以我们使用两个反相的光束去得到饱和的无多普勒频移的信号。其中一个光束还通过一个中心频率 $80\text{~MHz}$ 的声光调制器，用 $15\text{~KHz}$ 的信号进行相位调制，以供锁相放大器使用。锁相放大器输出的误差信号表明激光频率偏离碘吸收峰。该误差信号被送入另一个 $\text{PID}$ 并反馈到 $\pm 75 \text{V}$ 高压板上，最终稳定，即锁定了腔的长度。
$\quad$ 所有用于增加频带或改变锁定点的电光调制器都由 $\text{LabBrick}$ 信号发生器控制，这些信号发生器通过 $\text{USB}$ 线连接到控制计算机中。通过改变连接目标频率和碘吸收峰频率的光纤电光调制器的输入频率，我们可以精确地控制我们相对于一些绝对参考的激光频率。图 $3.6.3$ 展示了当我们将电光调制器的输入频率从 $13310\text{~MHz}$ 扫至 $13260\text{~MHz}$ 时的多普勒冷却计数图。

$\quad$ 从图中我们可以清楚地看到，当电光调制器频率在 $13266\text{~MHz}$ 左右时，离子的共振点出现。当电光调制器频率低于此值时，这意味着激光频率高于离子的共振点，离子被蓝失谐激光加热并融化。光电倍增管计数率也快速下降到零。通常我们选择红失谐侧的最大高度点的一半作为激光的工作锁频，该图的锁频约为 $13275\text{~MHz}$。在这个频率下，计数率有一个几乎最大的斜率，这对应于一个几乎最大的多普勒冷却效率。然而，光抽运和探测光束都需要近共振激光频率，所以我们对它们使用更高的声光调制器频率，例如多普勒冷却光束的声光调制器频率为 $200\text{~MHz}$，光抽运和探测光束的声光调制器频率为 $200+2\times(13275-13266)=218\text{~MHz}$。这里的因子 $2$ 是因为激光锁频是针对 $740\text{~nm}$ 种子激光来说的，而声光调制器是针对频率加倍的 $370\text{~nm}$ 激光来说的。注意，这个电光调制器扫频实验应该在微运动补偿之后进行的。否则，离子将在其共振点之前融化，我们将在图的峰值附近看到一个平坦的斜率。
$\quad$ $935.1882\text{~nm}$ 直接锁定在精度为 $10\text{~MHz}$ 的 $\text{HighFinesse}$ 波长计上。利用 $\text{Visual Basic}$ 编写的自定义程序，用已经稳定的 $739.0526\text{~nm}$ 激光波长作为基准，每 $10$ 秒对波长计进行自动校准，以补偿波长计的长期漂移。

# Chapter4 被囚禁离子的量子操纵

$\quad$ 在上一章讨论的日常操作的基础下，现在我们可以介绍我们的 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子系统的整个工作流程：

1. 多普勒冷却：将离子冷却。
2. 光抽运：初始化到 $\ket{1}$ 态。
3. 量子操纵：与微波或拉曼激光光束相干地旋转状态（如果需要，包括一个更前的边带冷却）。
4. 荧光探测：测量 $\ket{1}$ 的布局数。

对被囚禁离子的量子操纵，我们要使用到一下系统：

1. 微波系统：利用微波喇叭天线驱动，直接在超精细结构上操纵内部状态。
2. 拉曼激光系统：利用锁模脉冲激光驱动，促进拉曼跃迁来操纵内部和运动状态。

# 被囚禁离子的量子动力学

$\quad$ 在我们开始讨论量子操纵之前，需要为被囚禁的 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子的量子动力学做一些必要的理论准备。

# 被囚禁离子的量子图像

$\quad$ 离子内部电子结构可以用一个二能级的 $\ket{g}$、$\ket{e}$ 的能级差 $\hbar \omega=\hbar(\omega_e-\omega_g)$。其相应的二能级哈密顿量 $\hat{H}^{(e)}$ 为：

$$\begin{aligned} \hat{H}^{(e)} &= \hbar\omega_g\ket{g}\bra{g} + \omega_e\ket{e}\bra{e} \\ &= \hbar\frac{\omega_e+\omega_g}{2}(\ket{g}\bra{g}+\ket{e}\bra{e}) + \hbar\frac{\omega}{2}(\ket{e}\bra{e}-\ket{g}\bra{g}) \\ &= \hbar\frac{\omega_e+\omega_g}{2} \hat{I} + \hbar\frac{\omega_0}{2}\hat{\sigma}_z \end{aligned}$$

由于我们将在相互作用绘景中考虑演化，因此常数部分可以被安全地消除，只保留 $\hat{\sigma_z}$。这种消除可以很容易地推广到 $\text{N}$ 能级体系：

$$\hat{H}^{(e)} = \hbar \sum^N_{i=1} \omega_i \ket{i}\bra{i} \rightarrow \hbar \sum^N_{i=1} (\omega_i-\omega_1) \ket{i}\bra{i} \tag{4.1.1}$$

用量子力学的处理方法，我们将位置符号 $x$ 替换成算符 $\hat{x}$，我们可以将随时间变化的势场 $V(t)$ 写作：

$$V(t) = \frac{m}{2}W(t)\hat{x}^2$$

其中

$$W(t) = \frac{\omega^2}{4}(a_x+2q_x\cos\omega t)$$

可以将它看作一个时变的弹簧常数，它类似于静态谐振子中 $\omega^2_m$ 的作用。有了这些定义，运动哈密顿量 $\hat{H}^{(m)}$ 与我们熟悉的谐振子哈密顿量就十分相似了

$$\hat{H}^{(m)} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + \frac{m}{2} W(t) \hat{x}^2 \rightarrow \omega_m\hat{a}^\dagger\hat{a} \tag{4.1.2}$$

其中 $\omega_m=\beta_x\omega/2$，即等于经典的宏运动频率。

# 相互作用哈密顿量

$\quad$ 我们可以通过来自于微波喇叭或激光束的外场与离子相互作用。对于偶极允许的跃迁，将用偶极近似来处理；二对于偶极禁止的跃迁，只考虑长的四极分量。对于拉曼跃迁，对于拉曼跃迁，近共振中间能级将绝热消除，使这些跃迁在形式上等同于其他类型的跃迁。
$\quad$ 电偶极、电四极和受激拉曼所允许的跃迁都可以用一个统一的框架来描述，该框架通过一个确定的非共振 $\text{Rabi}$ 频率 $\Omega$、有效光频率 $\nu$、以及有效波矢 $\vec{k}$与每一个这些跃迁类型联系起来。对于电偶极和电四极跃迁来说，耦合光场的光频率、波矢与有效光频率、有效波矢是相同的，但对于受两个光场驱动的受激拉曼跃迁来说，有效光频率是两光场的频率差 $\nu_1=\nu_1-\nu_2$，有效波矢是两光场的波矢差 $\vec{k}=\vec{k}_1-\vec{k}_2$。对于行波光场来说，三种跃迁类型都可以用如下形式的耦合哈密顿量来描述：

$$\begin{aligned} \hat{H}^{(i)} &= \hbar\Omega(\hat{\sigma}_++\sigma_-)\cos(k\hat{x}-\nu t+\phi) \\ &= \frac{\hbar\Omega}{2}(\hat{\sigma}_++\sigma_-)e^{i[\eta(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)-\nu t+\phi]} + h.c. \end{aligned} \tag{4.1.3}$$

其中 $\text{Lamb-Dicke}$ 参数 $\eta=\vec{k}\cdot\vec{x}_0$，$|\vec{x}_0|=\sqrt{\hbar/(2m\omega_m)}$ 是基态波函数沿 $x$ 轴的展宽。我们将在后面提到，我们用一对 $355\text{~nm}$ 的脉冲激光束在 $\omega_m\approx2\pi\times3\text{~MHz}$ 的阱中操纵单个 $^{171}\text{Yb}^+$ 离子，因此我们会得到 $\eta\approx 0.111\cos\theta$，其中 $\theta$ 是激光束与阱 $x$ 轴之间的夹角。
$\quad$ 现在我们有了在薛定谔绘景下的总哈密顿量了：

$$\hat{H} = \hat{H}^{(m)} + \hat{H}^{(e)} + \hat{H}^{(i)}$$

如果我们将自旋态标记为 $\ket{\downarrow}$、$\ket{\uparrow}$；运动态标记为 $\ket{n}$；跃迁表示为 $\ket{\downarrow,n}\leftrightarrow \ket{\uparrow,m}$，我们可以选择对外场的相互作用绘景，其基本哈密顿量为：

$$\hat{H}_0 = \hat{H}^{(e)} + \hat{H}^{(m)} + \frac{\hbar\delta}{2}\hat{\sigma}_z$$

其中共振跃迁失谐量 $\delta=\nu-\frac{\omega_0+(m-n)\omega_m}{2\pi}$ (注：原文中是$\delta=\nu-\omega_0-(m-n)\omega_m$ 没有严格地区分频率与角频率，这里将其改正)。共振条件下的跃迁示意图如图 $\text{4.1.1}$ 所示。

关于耦合项：

$$\begin{aligned} \bra{\uparrow,m}\hat{H}_{I}\ket{\downarrow,n} &= \bra{\uparrow,m} e^{i\hat{H}_0t/\hbar} (\hat{H}-\hat{H}_0) e^{-i\hat{H}_0t/\hbar} \ket{\downarrow,n} \\ &= e^{i[\frac{1}{2}(\omega_0+\delta)+m\omega_m+\frac{1}{2}(\omega_0+\delta)-n\omega_m]t} \bra{\uparrow,m} \hat{H}^{(i)}-\frac{\hbar\delta}{2}\sigma_z \ket{\downarrow,n} \\ &= e^{i\nu t} \bra{\uparrow,m} \frac{\hbar\Omega}{2}(\hat{\sigma}_++\sigma_-)e^{i[\eta(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)-\nu t+\phi]} + h.c. \ket{\downarrow,n} \\ &= \frac{\hbar\Omega}{2} \bra{\uparrow,m} e^{i[\eta(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)+\phi]} + e^{i[-\eta(\hat{a}+\hat{a}^\dagger)+2\nu t-\phi]} \ket{\downarrow,n} \end{aligned}$$

利用选择波近似，可得

$$\bra{\uparrow,m}\hat{H}_{I}\ket{\downarrow,n} \approx \frac{\hbar\Omega}{2}e^{i\phi} \bra{m} e^{i\eta\hat{a}^\dagger+i\eta\hat{a}} \ket{n}$$

运用 $\text{Baker-Campbell-Hausdorff}$ 公式

$$e^{\hat{A}+\hat{B}} = e^{\hat{A}} e^{\hat{B}}e^{-\frac{1}{2}[\hat{A},\hat{B}]} e^{\frac{1}{6}(2[\hat{B},[\hat{A},\hat{B}]]+[\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]])}\dots$$

并注意到 $[\hat{a}^\dagger,\hat{a}]=1$，因此结果为：

$$\begin{aligned} &\frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} \bra{m} e^{i\eta\hat{a}^\dagger+i\eta\hat{a}} \ket{n} \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} \left(\sum^{\infin}_{j=0}\frac{(i\eta)^j}{j!}(\hat{a}^\dagger)^j\bra{m}\right) \left(\sum^{\infin}_{j=0}\frac{(i\eta)^j}{j!}\hat{a}^j\ket{n}\right) \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} \left(\sum^{m}_{j=0}\frac{(i\eta)^j}{j!}\sqrt{\frac{m!}{(m-j)!}}\bra{m-j}\right) \left(\sum^{n}_{j=0}\frac{(i\eta)^j}{j!}\sqrt{\frac{n!}{(n-j)!}}\ket{n-j}\right) \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} \left(\sum^{m}_{k=0}\frac{(i\eta)^{m-k}}{(m-k)!}\sqrt{\frac{m!}{k!}}\bra{k}\right) \left(\sum^{n}_{k=0}\frac{(i\eta)^{n-k}}{(n-k)!}\sqrt{\frac{n!}{k!}}\ket{k}\right) \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} \sum^{n_<}_{k=0} \frac{(i\eta)^{m+n-2k}\sqrt{m!n!}}{(m-k)!(n-k)!k!} \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} (i\eta)^{n_>-n_<} \sqrt{\frac{n_<!}{n_>!}} \sum^{n_<}_{k=0} \frac{(i\eta)^{2(n_<-k)}}{(n_<-k)!} \frac{n_>!}{(n_>-k)!k!} \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} (i\eta)^{n_>-n_<} \sqrt{\frac{n_<!}{n_>!}} \sum^{n_<}_{k=0} (-1)^{n_<-k} \left(\begin{matrix} n_> \\ k \end{matrix}\right) \frac{\eta^{2(n_<-k)}}{(n_<-k)!} \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} (i\eta)^{|m-n|} \sqrt{\frac{n_<!}{n_>!}} \sum^{n_<}_{k=0} (-1)^{n_<-k} \left(\begin{matrix} n_<+|m-n| \\ n_<-j \end{matrix}\right) \frac{\eta^{2j}}{j!} \\ =& \frac{\hbar \Omega}{2} e^{-\frac{\eta^{2}}{2}+i\phi} (i\eta)^{|m-n|} \sqrt{\frac{n_<!}{n_>!}} L_{n_<}^{|m-n|}(\eta^2) \end{aligned}$$