# 前言介绍

$\quad$ 相较于中性原子而言，离子具有电荷，故陷俘与囚禁也相对容易一些。从 20 世纪 50 年代开始 ，不同种类的离子阱逐渐被发明和投入使用。根据 Earnshaw 定理，我们是无非仅仅使用静电场对带电离子实施囚禁的。因此，Hans Dehmelt 提出用静磁场辅助静电场囚禁离子，即 Penning 阱；Wolfgang Paul 提出采用交流电场和静电场来囚禁离子，即 Paul 阱。
$\quad$ 在这里，将介绍 Penning 阱。

# Penning 阱中离子运动分析

$\quad$ $Penning$ 阱的储存空间如图 2 所示，它由两个端电极和一个环电极组成，三个电极的内表面都是以$z$ 轴为对称轴的旋转双曲面。三个电极的内表面所包围的空间即为离子的存储空间。

$\quad$ 正如上图所示，在存储空间的中心$O$ 为原点，建立柱坐标系，设原点到端电极的最短距离为$z_0$，到环电极的最短距离为$r_0$，且我们可以令$r_0=\sqrt{2}z_0$。在环电极和端电极之间加直流电压$V_0$，其中端电极接地，这样阱内电势可以描述为

$$\Phi = \begin{cases} 0 , \qquad & r=0 , z=z_0 \\ V_0 , \qquad & r=r_0=\sqrt{2z_0} , z=0 \\ \frac{V_0}{2} , \qquad & r=0,z=0 \end{cases} \tag{1}$$

$$\Phi(r,z) = \frac{V_0(r^2-2z^2)}{4z_0^2} + \frac{V_0}{2} \tag{2}$$

$$r^2 = x^2+y^2 \tag{3}$$

同时沿$z$ 轴在阱内加入匀强磁场$\vec{B}$，即

$$\vec{B} = B_0 \vec{e}_z \tag{4}$$

$\quad$ 离子在 Penning 阱中的运动由它所受到的电场力和磁场力来决定。质量为$m$, 电量为$q$, 速度为$v$ 的离子，在 Penning 阱内所受到的力为

$$\vec{F} = q \vec{E} + q \vec{v} \times \vec{B} \tag{5}$$

其中电场各分量为

$$\begin{cases} E_x = -\frac{\partial\Phi}{\partial x} = -\frac{V_0x}{2z_0^2} \\ \\ E_y = -\frac{\partial\Phi}{\partial y} = -\frac{V_0y}{2z_0^2} \\ \\ E_z = -\frac{\partial\Phi}{\partial z} = \frac{V_0z}{z_0^2} \end{cases} \tag{6}$$

# 离子沿 z 轴运动

$\quad$ 因磁场对$z$ 方向的运动无影响，因此离子沿$z$ 轴的运动方程为

$$\begin{aligned} & m \ddot{z} = qE_z = \frac{qV_0}{z_0^2} z \\ \Longrightarrow & m \ddot{z} - \frac{qV_0}{z_0^2} z = 0 \end{aligned} \tag{7}$$

设

$$\omega_z^2 = - \frac{qV_0}{mz_0^2} \tag{8}$$

因此，可得$z$ 轴方向的运动方程是一个简谐振动方程

$$\ddot{z} + \omega^2_z z = 0 \tag{9}$$

由此，离子在$z$ 轴方向的运动可以总结如下：

1. 为了保证$(9)$ 式的确是一个简谐振动方程，必须保证$\omega^2_z = - \frac{qV_0}{mz_0^2} > 0$。因此，若离子带正电荷$(q>0)$，必须$V_0<0$；若离子带负电荷$(q<0)$，必须$V_0>0$。否则方程$(9)$ 的解将是一个指数函数，离子将逃逸出阱。
2. 若保证了$\omega^2_z = - \frac{qV_0}{mz_0^2} > 0$，则离子沿$z$ 方向做简谐运动，振动频率为$\omega_z=\sqrt{- \frac{qV_0}{mz_0^2}}$。$\omega_z$ 与环电极和端电极之间的直流电压$V_0$ 以及离子的比荷$q/m$ 有关。

# 离子在 xy 平面上的运动

$\quad$ 在与$z$ 轴垂直的$xy$ 平面内，离子的运动方程为

$$\begin{cases} m\ddot{x} = q\dot{y}B_0 - \frac{qV_0}{2z_0^2}x \\ \\ m\ddot{y} = - q\dot{x}B_0 - \frac{qV_0}{2z_0^2}y \end{cases} \tag{10}$$

设

$$\omega_c = \frac{qB_0}{m} \tag{11}$$

利用$(8)(11)$ 式，可将$(4)$ 式改写为

$$\begin{cases} \ddot{x} = \omega_c \dot{y} + \frac{1}{2} \omega^2_z x \\ \\ \ddot{y} = - \omega_c \dot{x} + \frac{1}{2} \omega^2_z y \end{cases} \tag{12}$$

解上式微分方程组有一个方法，令$\eta=x+iy$，则有$\dot{\eta}=\dot{x}+i\dot{y},\ \ddot{\eta}=\ddot{x}+i\ddot{y}$。可以利用写出一个有关$\eta$ 的方程，$(5)$ 式分别是该方程的实部与虚部

$$\ddot{\eta} + i\omega_c \dot{\eta} - \frac{1}{2} \omega_z^2 \eta = 0 \tag{13}$$

设$\eta=Ae^{-i\omega}$，代入$(13)$ 式，得：

$$\omega^2 - \omega_c \omega + \frac{1}{2} \omega_z^2 = 0 \tag{14}$$

很轻易可以解得$(14)$ 式的一元二次方程

$$\omega = \omega_\pm = \frac{\omega_c}{2} \pm \frac{\omega_c}{2} \sqrt{1-\frac{2\omega_z^2}{\omega_c^2}} \tag{15}$$

$\quad$ 在一般的实验条件下，以$H^+$ 为例，参数与值如下

在这些参数下，可计算得$\omega_c=67.5 MHz$，$\omega_z=480KHz$。也就是说，在我们关心的范围内，通常满足$\omega_c \gg \omega_z$，因此$(15)$ 式可改写为

$$\begin{cases} \omega_+ = \frac{\omega_c}{2} + \frac{\omega_c}{2} \sqrt{1-\frac{2\omega_z^2}{\omega_c^2}} \approx \frac{\omega_c}{2} + \frac{\omega_c}{2} (1 - \frac{\omega_z^2}{\omega_c^2}) \approx \omega_c \\ \\ \omega_- = \frac{\omega_c}{2} - \frac{\omega_c}{2} \sqrt{1-\frac{2\omega_z^2}{\omega_c^2}} \approx \frac{\omega^2_z}{2\omega_c^2} \approx \omega_m \end{cases} \tag{16}$$

$\quad$ 在前面的实验条件下，有：$\omega_+ \approx 67.489MHz , \omega_- \approx 1.7 KHz$。所以$(13)$ 式的通解可写为

$$\eta = A_1 e^{-\omega_+t} + A_2 e^{-\omega_-t} \tag{17}$$

而也就是说，$(12)$ 式的通解可写为

$$\begin{cases} x = A_1 \cos(\omega_+t+\theta_1) + A_2 \cos(\omega_-t+\theta_2) \\ \\ y = A_1 \sin(\omega_+t+\theta_1) + A_2 \sin(\omega_-t+\theta_2) \end{cases} \tag{18}$$

因此，在$xy$ 平面内离子的运动可分解为：几乎是在原地绕着磁感线旋转，频率为$\omega_+$ 的快速转动，振幅通常很小；绕$z$ 轴的转动，频率为$\omega_-$ 的慢转动，振幅通常较大。

# 阱内离子运动总结

$\quad$ 离子在 Penning 阱内的运动为以下三种运动的叠加：

1. 沿磁场$\vec{B}$方向，即阱的对称轴$z$ 方向的简谐振动，角动量$\omega_z=\sqrt{-\frac{qV_0}{mz_0^2}}$。
2. 绕磁感线旋转频率为$\omega_+=\omega_c-\omega_-$ 的回旋运动，$\omega_c=q\vec{B}/m$ 是真正的回旋角频率，$\omega_+$ 叫做修正的回旋频率。
3. 垂直于$z$ 轴及径向绕$z$ 轴的漂移运动，角频率$\omega_m=\omega_-\approx\frac{\omega_z^2}{2\omega_c}$，$\omega_m叫磁控频率$。

这三种运动的叠加使离子产生如图 3 中实线所示的 “向心” 运动虚线为半径大频率小的漂移运动，实线为 3 种运动的合成轨迹。

# Penning 阱的优缺点

优点：

1. 与其他种类离子阱相比，Penning 阱不存在额外的加热机制（例如 Paul 阱中的射频加热效应）。
2. 囚禁时间长，囚禁效果好。室温下离子的运动半径为$80\mu$，多普勒冷却极限下$(1mK)$ 运动半径为$0.15\mu m$。

缺点：

1. 阱中的离子处于亚稳定的平衡状态，且引入较大磁场 （0. 1 T 量级） 可能会对离子能级引入较大的频移。
2. Penning 阱受限于其囚禁电场的限制，结构单一且过于封闭，不利于激光的馈入与探测，限制了其在原子分子光学实验中的应用。

# 参考资料

文献：
[1] 刘名扬，任晓斌，张民.Penning 阱中离子运动的分析 [J]. 物理实验，2007 (09):38-39+41.
[2] 秦浩然，张建伟，王力军。基于囚禁离子的微波频标研究进展 [J]. 计测技术，2023,43 (03):29-42.

非文献：
[1] 知乎，离子阱的前世今生，https://zhuanlan.zhihu.com/p/496598901