# 前言介绍

$\quad$ 相较于中性原子而言，离子具有电荷，故陷俘与囚禁也相对容易一些。从 20 世纪 50 年代开始 ，不同种类的离子阱逐渐被发明和投入使用。根据 Earnshaw 定理，我们是无非仅仅使用静电场对带电离子实施囚禁的。因此，Hans Dehmelt 提出用静磁场辅助静电场囚禁离子，即 Penning 阱；Wolfgang Paul 提出采用交流电场和静电场来囚禁离子，即 Paul 阱。
$\quad$ 在这里，将介绍 Paul 阱。

# Paul 阱的构成和电势分布

$\quad$ Paul 阱引入了交流电场，可在自由空间产生三维回复力。Paul 阱通常有双曲面电极、环形电极、线形电极、端帽电极等不同的形式，但其本质是在一组电极上加射频四极场进行径向囚禁，在另一组电极上加端电势进行轴向囚禁。下图分别就是线型 Paul 阱 (电极为线型的) 和双曲面型 Paul 阱 (端帽电极和环形电极都是双曲面型的)

下面我们就以图 2 中的 Paul 阱为例讲解，这是一种很典型的结构。
$\quad$ Paul 阱的内表面是由一对绕$z$ 轴旋转的双曲面电极 (称为帽电极) 和一个以$xy$ 平面为对称切面的双曲环形电极 (称为环电极) 组成。阱内的囚禁电势由加在环电极与帽电极之间的电压$U+V \cos(\omega t)$ 产生，其中$U$ 为直流电压，$V$ 为射频电压峰值，$\omega$ 为射频场频率。这样，在 Paul 阱中就产生了一个周期性含时 4 极电势：

$$\Phi = \frac{\Phi_0}{2r_0^2} (\lambda x^2 + \sigma y^2 + \gamma z^2) \tag{1}$$

其中$\Phi_0$ 是外加电势，在这里有$\Phi_0=U+V\cos(\omega t)$；而$\lambda,\sigma,\gamma$ 是依赖于阱的几何尺寸的常数倍数因子；$r_0$ 是 Paul 阱环电极最小半径。
$\quad$ 由于阱内区域没有电荷 (有也只是个别离子)，因此$\nabla\cdot E=0$，及可得拉普拉斯方程

$$\nabla^2 \Phi = 0 \tag{2}$$

将 (1) 式代入 (2) 式得

$$\nabla^2 \Phi = \frac{\Phi_0}{2r_0^2} (2\lambda+2\sigma+2\gamma) = 0$$

$$\Downarrow$$

$$\lambda+\sigma+\gamma=0 \tag{3}$$

对于标准的双曲面阱，有$\lambda=\sigma=1,\gamma=-2,r_0^2=2z_0^2$，其中$2z_0$ 为上下帽电极之间的最小间隔。将上述条件代入 (1) 式得到阱内的电势分布

$$\Phi = (U+V\cos(\omega t)) \frac{x^2+y^2-2z^2}{r^2_0+2z_0^2} \tag{4}$$

# Paul 阱内离子的运动

$\quad$ 电量为$Q$，质量为$m$ 的离子在阱中受到的作用力为

$$F = -Q\nabla \Phi (x,y,z) \tag{5}$$

则离子在阱中的运动方程为：

$$m \ddot{x} = -Q \frac{\partial \Phi}{\partial x} = -2 Q \frac{U+V\cos(\omega t)}{r^2_0+2z^2_0} x \tag{6}$$

$$m \ddot{y} = -Q \frac{\partial \Phi}{\partial y} = -2 Q \frac{U+V\cos(\omega t)}{r^2_0+2z^2_0} y \tag{7}$$

$$m \ddot{z} = -Q \frac{\partial \Phi}{\partial z} = 4 Q \frac{U+V\cos(\omega t)}{r^2_0+2z^2_0} z \tag{8}$$

引入无量纲参数：

$$\tau = \frac{\omega}{2} t \tag{9}$$

$$a_z = -2a_x = -2a_y = \frac{-16QU}{m\omega^2(r^2_0+2z_0^2)} \tag{10}$$

$$q_z = -2q_x = -2q_y = \frac{-8QV}{m\omega^2(r^2_0+2z_0^2)} \tag{11}$$

由这些无量纲参数，可以将$(6)(7)(8)$ 方程改为标准的$Mathieu$ 方程：

$$\frac{d^2r_i}{d\tau^2} + (a_{r_i}+2q_{r_i}\cos2\tau) r_i = 0 , \quad r_i=x,y,z \tag{12}$$

上式就是 3 个非耦合的$Mathieu$ 方程，根据$Floquet$ 定理，该方程具有如下形式的解

$$r_i(\tau) = A_i e^{\kappa\tau} \sum^{+\infin}_{-\infin}(C_{2n}e^{i2n\tau}) + B_i e^{-\kappa\tau} \sum^{+\infin}_{-\infin}(C_{2n}e^{-i2n\tau}) \tag{13}$$

其中$C_{2n}$ 为满足一定递推关系的系数，$\kappa=\alpha+i\beta$，$\kappa$ 由参数$a,q$ 决定。从数学中关于微分方程的讨论知，这样的运动有稳定区和不稳定区。$\kappa$ 的取值将决定$Mathieu$ 方程的解是否稳定，只有$a$ 和$q$ 处于稳定区时，离子才可能囚禁于阱中。由数学知识可知，$\kappa$ 取值与稳定性有如下关系：

1. 当$\kappa$ 值是不为 0 的实数时，$r_i$ 随时间的增大而增大，解是不稳定的。
2. 当$\kappa$ 值是实部不为 0 的复数时，解是不稳定的。
3. 当$\kappa=i\beta$，$\beta$ 为整数时，$r_i$ 具有周期性，但不稳定。
4. 当$\kappa=i\beta$，$\beta$ 是不为整数的实数时，$r_i$ 具有周期性，且稳定。

为了能够长时间囚禁离子，其解必须是稳定的，因此只能采用第 4 种情况。此时$Mathieu$ 方程的解式$(13)$ 必须取如下形式

$$r_i(\tau) = A_i \sum^{+\infin}_{-\infin} C_{2n} \cos [(2n+\beta_i)\tau] + B_i \sum^{+\infin}_{-\infin} C_{2n} \sin [(2n+\beta_i)\tau] \tag{14}$$

其中$\beta_i$ 是不为整数的实数。若利用$(9)$ 式将上式还原为有量纲形式，如下

$$r_i(t) = A_i \sum^{+\infin}_{-\infin} C_{2n} \cos [(2n\omega+\omega_0)t] + B_i \sum^{+\infin}_{-\infin} C_{2n} \sin [(2n\omega+\omega_0)t] \tag{15}$$

$$\omega_0 = \frac{\beta_i}{2} \omega \tag{16}$$

其中，由于$\beta_i<1$，因此$\omega>\omega_0=\frac{\beta_i}{2} \omega$，所以相比交流电场的射频$\omega$，$\omega_0$ 是一个相对较低的频率，称为久期频率。而由于$|\frac{C_{2n}}{C_0}| \ll 1$，因此式$(15)$ 描述的运动可以分解为：

1. （由于振幅系数$C_0$ 较大）占据主导的，频率为$\omega_0$ 的谐振运动，称为宏运动，也称久期运动。
2. 具有较高频率$\omega+\omega_0$ 而幅度相对较小的一阶微运动。
3. 还有更高频率$n\omega+\omega_0 \approx n\omega$ 而幅度更小的高阶微运动。

此外，离子偏离阱中心的距离越大，离子微运动幅度也越大。(也就是说振动幅度$C_2n$ 与位矢有关？)

# 参考资料

文献：
[1] 刘名扬.Paul 阱中离子运动及稳定性分析 [J]. 大学物理，2010,29 (02):5-8.DOI:10.16854/j.cnki.1000-0712.2010.02.007.
[2] 秦浩然，张建伟，王力军。基于囚禁离子的微波频标研究进展 [J]. 计测技术，2023,43 (03):29-42.

非文献：
[1] 知乎，离子阱的前世今生，https://zhuanlan.zhihu.com/p/496598901