# 摘要

$\quad$ 时间和频率是最能精确测量的物理量。几乎所有的在实验和工程中的高精度测量技术都是基于测量和频率比较。国际单位制的 “秒” 被一个相对不确定度在$10^{-16}$ 范围内铯喷泉钟所定义。所谓的光学时钟能够产生更加稳定的频率和更小的系统不确定度，其中高度稳定激光的频率是涉及到激光冷却囚禁原子的禁止的光学跃迁。
$\quad$ 这篇文章的主旨是讨论本文以 Paul 阱中单个$^{171}Yb^+$ 离子的极窄$^{2}S_{1/2}(F=0)\rightarrow ^{2}F_{7/2}(F=3)$ 八极跃迁为参考，讨论了光钟的实现。除了所知道的系统有点之外，像大质量和在 nHz 范围内的自然线宽，实验研究表明激发态的四极矩非常小$\Theta(F,7/2)=-0.041(5) ea_0^2$。此外，跃迁频率对电磁场的精确敏感度已经被确定。这些场可以在$^{171}Yb^+$ 的第二时钟跃迁上进行光谱表征，即$^{2}S_{1/2}(F=0) \rightarrow ^{2}D_{3/2}(F=2)$ 四极跃迁。
$\quad$ 高度稳定的激光器允许对所谓的 “超拉姆齐” 激发方案进行第一次实验研究，该方案减少了主要的频移，即由探测激光器引起的光移，减少了几个数量级。交替使用新方法和单拉比脉冲可以控制 “超拉姆齐” 参数，并保证恒定地抑制光移，因此它对标准的系统不确定度的贡献可以忽略不计。
$\quad$ 利用近红外激光辐射效应研究了热辐射引起的频移，并确定了两种时钟跃迁在不同波长下的微分极化率。这些数据可用于理论预测的检验，目前允许对八极跃迁进行偏移校正，相对不确定性为$2.6×10^{-18}$，并推断出静态微分标量极化率$\triangle \alpha_s^{dc} = 0.893(30)\times 10^{-40} Jm^2V^{-2}$。
$\quad$ 测量这两种时钟跃迁的频率时，其不确定度基本上受限于铯喷泉钟的不确定度。与光学晶格时钟相比，八极子频率标准的不稳定性为:$\sigma_y(\tau)=5.3\times10^{-15}/\sqrt{\tau(s)}$。对所有相关频移效应的评估导致目前的相对系统不确定度为$3.9 × 10^{-18}$，这是所有原子钟中最小的。

# 介绍

$\quad$ 对于人类来说，时间是一个神秘的东西，有时它不是可以轻易描述的，人们有许多不同的方法去感知时间。一个方法就是通过观察周期性现象来表达时间。这就引出了爱因斯坦的观点：用我手上的小表定义时间，也许可以解决所有问题。在这一方面，时间能通过计数一个稳定的周期性过程的经过的周期数来测量。例如旋转的天体就可以，而在 1956 年以前，作为秒的参考，它被定义为 1/86400 个太阳日。但是，石英振荡器测量的结果展示，由于地球的旋转不规律导致用它定义的时间并不令人满意。但石英振荡器提供的频率既不是绝对稳定的，也不是可以复制的，而且严重依赖温度。
$\quad$ 目前所知道的最稳定的频率是未经扰动原子在两个态上跃迁相对应的辐射频率。此外，根据等效原理，这些频率都应该不依赖于地点和时间。我们也相信它们是具有特异性的且高度可复制的，因为相同物质的原子是相同的。作为结果，原子跃迁似乎可以提供理想的频率参考。
$\quad$ 实现原子频率标准的最普遍方式如下：原子被制备在一个确定的态上，然后在一个通过稳定的振荡器产生的辐射所产生的狭窄的原子跃迁上被观测。通过观测跃迁概率的改变，同时对辐射频率进行步进，可以产生鉴别信号。这种鉴别信号可以被用于反馈回路来控制振荡器的频率，确保振荡器的频率与原子共振相应。但是，测量过程中的缺陷和残余场对原子态的扰动，会造成无扰动跃迁频率$\nu_0$ 与振荡器的跃迁频率之间存在偏移。矫正的相对不确定度$\delta\nu/\nu_0$ 决定了实现频率标准的精度。为了给评估的修正和未扰动频率的实现提供确信度，或者引导未发现的效果，这个不确定度评估可以通过比较其他标准来测试。
$\quad$ 这种原子钟首次于 1955 年在英国国家物理实验室首次实现，这涉及到铯原子基态的超精细跃迁。由于这类钟展现出来的优势超越了基于其他原子跃迁的系统，在 1967/68 年的第十三届国际度量衡会议上，就星历而言，决定了用 Cs 时钟频率的最精确测量来定义国际单位制的秒，如下：一秒是铯 133 原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的 9192631770 个周期的辐射持续时间。
$\quad$ 这些原子钟利用了拉姆齐的分离振动场方法，这方法允许记录共振线性的宽度。这些宽度基本上被总相互作用时间的傅里叶变化所限制，没有移位和非均匀激发的加宽。这个相互作用时间反过来被沿着拉姆齐腔运动的热原子所限制。在典型长度$\approx 1 m$ 的实验室系统中，探测周期约为 10ms，其相应的共振宽度为 50Hz。
$\quad$ 激光冷却的优势确保了原子喷泉钟的实现，在那里，一个激光冷却的原子云会被使用激光来反抗重力，以此发射。在它们上升的过程中，原子会经过一个微波腔。通常，在它们到达 1m 的高度后会下降，再次经过这个微波腔。这样，光束时钟的在空间上被分离的振动场被两个与微波场在时间上分开的相互作用所取代。两个相互作用周期的时间间隔大概为 0.5 秒，这允许了宽度为 1Hz 的共振信号的观测。由于线宽减小了 50 倍，并且由于 Cs 原子的速度相对较小，如今，国际单位制的秒可以在极小的频率不确定度中实现，这个不确定度仅仅比 $10^{-16}$ 略大一些。

# 频率标准的特征

$\quad$ 原子的频率标准的典型特征是它们的精确度和不稳定性。如前所述，它们的精确度与不确定度有关，这些不确定度会改变标准的频率，使其偏离未受干扰的原子共振频率。频率标准的另一个主要性质是它的不稳定性，这种不稳定性规定了观测到的频率如何随时间波动和漂移。因此，需要另一个时钟去探测波动来作为参考，换句话说，频率的不稳定性是相对于频率测量的结果。更普遍地说，不稳定性是被 Allan 偏差所量化：

$$\sigma_y(\tau) = \sqrt{\frac{1}{2(M-1)}\sum^{M-1}_{i=1}(y_{i+1}-y_i)^2} \tag{1.1}$$

在这里，$y_i$ 是一组$M$ 个频率测量的值，它们是由持续时间$\tau$ 中等间隔的单次测量值组成。如果比较包含至少三个不相关的标准，则可以推断出个体的不稳定性。相较于标准差，Allan 偏差具有包含了具有对闪烁频率噪声收敛的优势。如果通过对单频测量周期进行平均而获得的较大测量间隔也计算 Allan 偏差，则可以很容易地在 Allan 方差与平均时间的双对数图中识别振荡器和测量系统噪声的类型，如图 1.1 所示。根据噪声类型的信息，想要降低频率相较的统计不确定度到一个某一个确定的水平的平均时间是可以被推断出来的。注意，艾伦偏差不区分白相位噪声和闪烁相位噪声。

$\quad$ 作为原子共振的量子性质的结果，如上所述，一个理想原子频率标准在一段平均时间$\tau$ 内的不稳定性，可以描述如下

$$\sigma_y(\tau) = \frac{\triangle\nu}{\nu_{0}} \frac{1}{K\sqrt{N}} \sqrt{\frac{T_c}{\tau}} \tag{1.2}$$

在这里，$N$ 是被测原子的平均个数，假设原子状态不相关，K 的数量级为 1，K 却决于在跃迁频率 $\nu_{0}$ 共振信号的形状，而$\triangle\nu$ 描述的是观测到的共振形状的宽度。后者与测量时间$T_i$ 成反比，它是测量周期总持续时间$T_c$ 的一部分。
$\quad$ 从公式 1.2 来看，可以清楚地看到，(想要更低的不稳定性)，则需要大量的原子，和长而连续的相互作用 (应该指的是长而连续的测量时间$T_i$) 以此获得较窄的线宽，对于高的跃迁频率是我们尤其想要的。应该注意的是，在不改变其他参数的情况下，达到给定统计不确定度所需要的测量时间减少了$\nu^2_0$。

# 光频标

$\quad$ 追求基于更高频率跃迁的原子钟的想法导致可控本地振荡器和仪器的可用性的限制，以比较和计数实现的频率。这两种工具最近都可以实现光谱钟的频率：频率稳定的光学谐振腔的激光器，它目前提供了接近$10^{-17}$ 范围的短期不稳定性，以及光学频率梳发生成器，它是一个方便的工具能够相位相干比较光学和微波波段的频率，不确定度在$10^{-19}$ 范围内。
$\quad$ 通过在光学晶格中捕获和冷却数千个中性原子或在射频阱中捕获单个离子，已经刻入了在基于窄光学跃迁的频率标准的里程碑中，这同样很重要。对囚禁的离子运动的精确控制，以防止多普勒频移，并且在被探测激光系统的短期不稳定性所限制的相互作用时间内允许无反冲光谱。
$\quad$ 自世纪初以来，在世界各地的许多实验室中，研究了利用各种各样原子的种类和相关跃迁的光频标。得益于它们约有$10^5$ 倍更大的跃迁频率，因此光学时钟相较于微波时钟实现了明显更小的不确定度和不稳定性。尽管基于限制在一个光学晶格中的中性原子的时钟已经被证明有显著的，由于大量原子数而产生的不稳定性。但单离子时钟归功于它的相关跃迁频率对外场更小的敏感性，尤其是对热辐射的敏感度较小，它有明显更小的系统不确定度。最近，通过结合对在原子位置上的辐射场的精确表征，和对原子低温环境的应用，高精度的敏感性测量使得光学晶格中有类似 (于单离子钟) 的不确定度。最终，晶格钟的精度可能会受到原子剩余相互作用效应的限制。
$\quad$ 光学钟的卓越精度使它们成为相对论大地测量学等领域的敏感探测器，在这些领域中，对遥远时钟的引力红移进行评估，以确定时钟位置之间的重力势差。相反，这些时钟可以用来测试相对论大地测量学的基本假设，即局部位置不变性，例如，通过比较基于不同跃迁的时钟观察到的红移。由于局域位置不变性也指时间上的位置，因此通过反复比较不同灵敏度的跃迁频率来研究基本常数的时间变化。$^{171}Yb^+$ 的八极跃迁以其对精细结构常数$\alpha$ 的高度灵敏度而闻名。

# 单个 ¹⁷¹Yb⁺离子的光频标

$\quad$ 在联邦物理技术所 (PTB) 中，我们研究了基于利用囚禁在无线频率泡利阱中的单个$^{171}Yb^+$ 离子所提供的窄跃迁为基础的光频标。$^{171}Yb^+$ 提供了几个明显能够从图 1.2 中看出的优势。所指出的激光冷却、再泵浦和所谓的时钟跃迁的波长都很方便，因此都可以由外腔二极管激光系统驱动，从而减少了技术工作量，提高了系统的可靠性。离子表现出了极长的储存时间，这可能与用于冷却的 370 nm 激光也应该能够光解离 YbH + 分子有关用于冷却的 370 nm 激光也应该能够光解离$YbH^+$ 分子有关。这可能就解释了为什么$Yb^+$ 被用于各种各样的囚禁离子的实验中。离子相对较大的质量和方便于冷却跃迁的线宽，都导致了在多普勒冷却后的一个较小的剩余运动。而相应较小的多普勒频移对于实现光频标是具有优势的。此外，由于核自旋是 1/2，时钟跃迁能够在$m_F=0$ 的超精细流行部分中激发，以至于跃迁频率是对小磁场不敏感的。
$\quad$ 除了这些技术优势，$^{171}Yb^+$ 是十分有趣的，因为它提供了两个带有高质量因子的光学参考跃迁，它们具有相当不同的物理特征。一个光频标是基于连接$^{2}S_{1/2}(F=0)$ 基态和$^{2}D_{3/2}(F=2)$ 态上的电四极跃迁，其自然寿命是 53ms。这个光学频率已经在 PTB 实现了，并且已经被列为国际单位秒的第二种代表之一。基态与$^{2}F_{7/2}(F=3)$ 之间的电八极跃迁第一次在英国国家物理实验室被研究。它非凡的跃迁特征是$^{2}F_{7/2}$ 态在几年范围内的长自然寿命，和它由被一个球对称的 6s 壳层所包裹的 4f 壳层上有一个空穴所构成的电子构型$(4f^{13}6s^2)$ 的结果。由于八极跃迁的产生，几乎不受自发衰变的线宽影响，并且几乎只取决于可用激光的稳定性，所以可以实现具有非常低不稳定性的，被单离子频率标准所限制的量子投影噪声。

$^{171}Yb^+$ 的部分能级图。绿色实箭头表示参考跃迁：467 nm 的八极子 (E3) 跃迁和 436 nm 的四极子 (E2) 跃迁。冷却跃迁显示为蓝色虚线，红色箭头表示重泵送跃迁。相关的自发衰变路径用虚线表示。

$\quad$ 为了理解单电离$^{171}Yb^+$ 非常特殊的电子结构，将能量较低的能级分为两部分是很有帮助的。类碱结构：包括一个完全填满的 4f 电子层和一个价电子，以及一个在 4f 电子层上有空穴的两价电子结构。本文讨论的$^{2}S_{1/2}$ 基态、冷却跃迁的上能级$^{2}P_{1/2}$ 和四极跃迁的激发态$^{2}D_{3/2}$ 属于类碱族。重泵送跃迁的$^{2}F_{7/2}$ 态和激发态都属于另一类。似乎很直观的是，LS 耦合适用于$^{2}F_{7/2}$ 状态，因为它很好地表征为单孔状态。而对于同一部分的其他低能激发态，则采用另一种耦合方案，有的称为$JK$，有的称为$J_1L_2$ 耦合。这里，描述电子系统内部的父能级 J1 的总角动量与价电子 L2 的轨道角动量耦合，得到量子数 K。然后，将价电子 S2 的自旋与 K 耦合，得到该能级的总角动量 J，其项符号为$^{2S_2+1}[K]_J$。
$\quad$ 由于复杂的电子结构，单价理论描述有很强的局限性，但是对所有 15 个价电子的处理使得计算非常困难，因此目前没有对原子参数的精确理论预测。
$\quad$ 这些困难也限制了从头计算电子结构对精细结构常数 α 变化的依赖性。由于$^{2}F_{7/2}$ 态能量的巨大相对论贡献$\triangle(E(^{2}F_{5/2})-E(^{2}F_{7/2}))/h \approx 300 THz$，使得 α 上的八极跃变频率具有特别强的灵敏度。还发现，四极跃迁的相应跃迁频移比八极跃迁小约 6 倍，但符号相反。因此，测量一个捕获的$^{171}Yb^+$ 离子的四极和八极跃迁的频率比是测试 α 常数的一种方便的方法。八极跃迁已经被认为是一个有吸引力的参考跃迁，但是由于八极跃迁的振荡器强度非常小，比光学时钟中使用的大多数其他跃迁大约小 8 个数量级，因此它的激发需要特别高的光谱功率密度。为实现 30 ms 长矩形脉冲的 π 脉冲激励，需要 10 W/mm2 的脉冲强度。这种大强度导致非共振耦合到更高的能级，从而引入显著的光移 (≈500 Hz) 的转换频率。这种强烈的光移和有效激发八极跃迁的困难阻碍了光频标的实现和系统位移的详细研究，本文都提出了这些问题。

# 文章的大纲

$\quad$ 本文描述了基于单$^{171}Yb^+$ 离子八极跃迁的光频标准的实现，并报道了基于四极跃迁的光频标准的研究现状。
$\quad$ 第二章介绍了实验装置的主要概念和构成。在那里，将简要讨论囚禁和冷却单离子的原理，并介绍一种新的重泵跃迁，这种重泵跃迁能够减少处于长寿命的$^2F_{7/2}$ 态的数量。利用一种新型探针激光系统实现了八极跃迁的高分辨率光谱分析。
$\quad$ 在第三章，通过测量相关原子参数，例如四极矩$\Theta(F,7/2)$、微分电极化率和二阶塞曼位移灵敏度，评估外场引起的$^2S_{1/2}(F=1)\rightarrow\ ^2D_{3/2}(F=2)$ 和$^2S_{1/2}(F=1)\rightarrow\ ^2F_{7/2}(F=3)$ 跃迁效应。最后，给出了所有已知相关系统频移和相应的$^{171}Yb^+$ 标准的不确定度的估计。
$\quad$ 第四章对新提出的 “超拉姆齐” 光谱进行了实验研究，并演示了其在光频标中的应用。
$\quad$ 第五章对$^{171}Yb^+$ 和铯喷泉钟的两种光频标进行了比较。这些结果可用于对基本常数的时间变化进行更严格的约束。

# 实验装置

$\quad$ 本章将介绍实验装置的主要概念和组成部分。它首先简短地讨论了囚禁和冷却单个离子的原理，然后报告了一种新的再泵跃迁，这种跃迁可以更快地减少处于长寿命的$^2F_{7/2}$ 态的数量。此外，还将描述基本的讯问顺序及其要素。最后，本章的最后一部分讨论了一种新的探测激光系统来激发八极跃迁，与以前使用的系统相比，它具有几个优点。

# 单个 Yb⁺离子的囚禁和冷却

$\quad$ 1956 年，汉斯・德梅尔特 (Hans Dehmelt) 提出了通过捕获离子的精密光谱学来研究无扰动原子结构性质的基本思想。他建议在小体积中捕获离子的时间要比在蒸汽池中的双共振实验中所能达到的时间长得多。沃尔夫冈・保罗 (Wolfgang Paul) 发明的三维四极离子阱是一种方便的实验仪器，可以理想地实现无限时间的捕获。从拉普拉斯方程可以看出，静电场不能实现对离子的吸引势限制，而利用时间相关电场可以实现动态捕获。我们的泡利阱的电极（见图 2.1）是根据文献 [67] 中的数据 4 进行加工，缩放到匹配$z_0=1mm$。特征尺寸为$r_0$ 的阱内随时间变化的电势为

$$\phi(\vec{r},t) = (U_0+V_0\cos(\Omega t)) \frac{(1+\epsilon)x^2+(1-\epsilon)y^2-2z^2}{kr_0^2} \tag{2.1}$$

$\quad$ 施加到中心环电极的电压由静态分量$U_0$ 和振幅$V_0$ 的动态贡献组成，振动的角频率为$\Omega$。电极的形状决定了系数$\kappa$，其中$\kappa=2$ 对应于完全匹配双曲等势面的电极，而我们阱的几何形状对应$\kappa=2.16$。阱势偏离圆柱对称的情况用$\epsilon$ 来描述。质量为$m$、电荷为$Q$ 的单个离子在该势中可以一组 Mathieu 方程来描述

$$\frac{d^2r_i}{dr^2} + (a_i-2q_i\cos2\tau)=0 \tag{2.2}$$

其中的无量纲参数

$$a_i = \frac{8\gamma_iQU_0}{m\Omega^2\kappa r_0^2} \ , \ q_i = \frac{8\gamma_iQU_0}{m\Omega^2\kappa r_0^2} \ , \ \tau=\frac{\Omega}{2}t \ ,\ \gamma_i = \begin{cases} 1+\epsilon \quad &i=x \\ 1-\epsilon \quad &i=y \\ -2 \quad &i=z \end{cases} \tag{2.3}$$

$\quad$ 在条件$\ |a_i|,q_i \ll 1$，并且$U_0<V_0$ 的条件下，$(2.2)$ 式的稳态解可以写为

$$\begin{aligned} r_i(\tau) = \underbrace{r_i \cos \frac{2\omega_i\tau}{\Omega}}_{\text{久期运动}} + \underbrace{(r_i \cos \frac{2\omega_i \tau}{\Omega}) \frac{q_i}{2} \cos 2\tau}_{微运动}, \qquad i=x,y,z \end{aligned} \tag{2.4}$$

$\quad$ 在这里，我们可以清楚地看到运动的两个可分离的部分及其相互关系。第二部分描述了离子与产生阱场的射频电压频率的振荡。当平均时间大于$1/\omega$ 时，微运动的平均动能形成伪势

$$\Phi(r_i) = \frac{m}{4Q} \omega_i^2 r^2_i \tag{2.5}$$

因此，方程$(2.4)$ 可以被解释为这个伪势中的谐波运动。根据 [68]，久期运动的频率为

$$\omega_i = \frac{\Omega}{2} \sqrt{a_i - \frac{(a_i-1)q_i^2}{2(a_i-1)^2-q_i^2} - \frac{(5a_i+7)q_i^2}{32(a_i-1)^3(a_i-4)}} \tag{2.6}$$

当$\ |a_i|,q_i \ll 1$，可以简化为

$$\omega_i = \frac{\Omega}{2} \sqrt{a_i+\frac{1}{2}q_i^2} \tag{2.7}$$

$\quad$ 残留的杂散电场或电极上电位的有效相位差会使离子的平衡位置偏离陷阱中心。在这种情况下，离子不会位于无场阱中心，而是会受到所谓的过度微运动的影响。附加的均方场和离子的诱导运动分别通过二次斯塔克效应和二次多普勒效应引起捕获粒子的跃迁频率的显著变化。不同的方法用于微运动的研究 [69]。可以通过施加一个补偿电场来抵消残余场。图 2.1 是实验中使用的捕集器的图片。电子枪上的电压，$Yb$ 炉和端盖电极之间的电压可以用来消除阱中心的电场。补偿场是通过最小化离子平均位置的残余变化来调节的，这些变化与降低靠近稳定区域边界的阱势有关 [70]。该位置可以在监视器屏幕上看到，监视器屏幕显示了在强化 CCD 摄像机上检测到的陷阱中离子的放大图像。通过在环形电极上选择正或负的偏置电压，阱沿阱轴或径向平面变浅。由于具有较大的放大倍率和相对于探测器的方向，补偿电压诱导的离子的平均位置随电场的变化是可区分的，并且清晰可见。可以假设三个方向的补偿质量是相似的。特别是，端盖之间的电压调整可以作为测试用例。通过对不同初始电压的重复补偿过程，发现补偿电压的再现性优于$3 mV$，这是该补偿电压的不确定度。通过有限元计算，计算出两个端盖电极之间距离为$2z_0$ 处直流电压$U$ 产生的沿阱轴方向的电场$E_z$ 为

$$E_z = k \frac{U}{2z_0}, \qquad k=0.80 \tag{2.8}$$

$z_0$ 的设计目标为$0.987mm$，且应该实现几个百分点的不确定度。这样才会使得电场的类似的因为数值计算不完善的不确定性会小很多。利用公式$(2.8)$，根据补偿杂散电场的电压的不确定性，可以计算出沿阱轴的残余电场小于$\pm2.4V/m$。这个残余场可以使离子沿着阱轴从阱势的最低值移动。对于两个正交方向，期望得到相似的残差场。

石英玻璃真空室中的离子阱图片。左边是$Yb^+$ 炉，右边是电子源。这张照片是通过用于荧光检测的窗户拍摄的。连接在中央玻璃立方体上，在外部可以看到用于冷却、探测和再泵激光束的四个正交管。

$\quad$ 离子是在阱势中参数，例如通过光电离或电子冲击电离，并且可以预期具有$1eV$ 数量级的初始动能。被囚禁粒子的运动能量需要降低到相关多普勒展宽不会支配观测到的共振谱线宽的状态，但离子的局部化明显优于探测激光光场的波长。正如我们在$(2.4)$ 可以看到的，减少久期运动也会减少相应的微运动部分。1975 年，Wineland 和 Dehmelt 以及 Hänsch 和 Schawlow 提出了对电磁俘获离子和中性原子气体进行激光冷却的想法。近共振激光可以实现低洼运动态的光泵浦。1978 年，Wineland、Drullinger 和 Walls 首次在 Penning 阱中对$Mg^+$ 离子进行了红失调谐激光冷却，Neuhauser 等人在 Paul 阱中对$Ba^+$ 离子进行了独立实验。在这里描述的实验中，使用了与冷却$Ba^+$ 离子相同的技术，通过在$370nm$ 处强$^2S_{1/2}(F=1)\rightarrow\ ^2P_{1/2}(F=0)$ 跃迁上散射光子来降低单个捕获$Yb^+$ 离子的动能。
$\quad$ 激光冷却的基本概念在 [72] 中得到了回顾，离子的激光冷却在 [73-75] 中有更详细的描述。在我们的实验中，冷却跃迁是由提供$10\mu W$ 功率的倍频外腔二极管激光器激发的，该激光器聚焦到阱中离子位置的束腰约为$50\mu m$ [76]。为了避免在$^2D_{3/2}$ 亚稳能级上的居群捕获，从另一个$935 nm$ 外腔二极管激光器发出的几毫瓦的光被聚焦到类似的束腰。所谓的再泵激光器将离子激发到短寿命的$^3[3/2]_{1/2}$ 流形，而流形又主要衰变成基态而流形又主要衰变成基态。冷却激光器上$14.7 GHz$ 的微波边带减少了基态的较低超精细能级$(F = 0)$，并由此关闭了冷却循环。与激光偏振成一定角度的强磁场可导致塞曼流形的适当分裂，并确保在$^2S_{1/2}(F=1)$ 状态的塞曼亚能级中的种群捕获不会妨碍激光的有效冷却。调节磁场的绝对值和冷却激光的偏振，使荧光率最大化，同时降低冷却光强，防止饱和。在这些条件下，冷却光的频率失谐约为自然线宽$19.6 MHz$ 的一半 [79]，导致每秒检测到约$10^4$ 个光子。
$\quad$ 关于单个 $^{171}Yb^+$ 离子的冷却过程及其局限性的更详细的讨论可以在参考文献 [80] 和参考文献 [78] 的第 3 章中找到。对于这里讨论的实验，总结一些结果并讨论相关的局限性就足够了。冷却粒子的过程建立在囚禁势中冷却离子的弱结合假设上。因为冷却跃迁的自发衰减速率远大于久期运动的角频率。根据 [15]，将阱势近似为纯一维谐波阱，并假设低强度低速度，则多普勒冷却后的最终稳态能量可表示为：

$$E_D = (1+\alpha) \frac{\hbar(\Gamma^2+4\Delta^2)}{-16\Delta} = \frac{1}{2} k_B T_D \tag{2.9}$$

这里$k_B$ 标记为玻尔兹曼常数，$\alpha$ 描述荧光角度分布，通常被认为等于$1/3$，而$\Delta$ 是冷却跃迁共振的失谐量。在$\Delta=-\Gamma/2$ 条件下能量最小，离子在多普勒冷却极限温度$T_D$ 为$T_D=2\hbar\Gamma/3k_B=0.63mK$。能够达到的最小温度原则上受到冷却跃迁的自然线宽的限制。一般来说，人们期待在二能级原子的过程中有这样的一个限制，因为$\hbar\Gamma$ 代表系统中最小的能量尺度。