听说在入门一个领域前，最好找一篇有代表性的论文来细读翻译一下。这篇文章是我大四时，准备进入学院的量子组前想要去读的。一是希望能够在正式进入该领域时能对它有一些基本的了解，二是希望能够提高一下自己烂透的英文水平。
该文出处为：
[1]. Laser cooling and trapping of neutral atoms[J]. Journal of the Washington Academy of Sciences,2016,102(4).

# 摘要

$\quad$ 使用激光去冷却、操控和俘获原子的能力，已经使得一个全新的、正在快速发展的领域出现。目前的实验聚焦于提高现有的冷却技术，以及发展冷原子，这种作为涉及从原子钟到量子简并理论的应用源泉。这篇回顾文解释了用于冷却和囚禁 (原子) 的激光器的基本机制，并且通过描述一些被选出来的关键实验来说明这一领域的发展。

# 介绍

$\quad$ 利用激光器操作，囚禁，抽取中性原子中的机器能的可行性已经使得原子物理学在很大的领域发生了革命，并且完全地开拓出了新的调查领域。现在，在世界各地越来越多的实验室中，制备冷却到只有几$\mu K$ 的原子样品，并囚禁原子密度达到$\mu m^3$ 的数量级成为了常规。随着更多精密的技术出现，原子能够被制备成更低的温度和更高的密度。这些原子样品呈递了一个指引进一步实验工作的设想：原子可以被囚禁在一个相对无扰动的环境中，在这里多普勒频移几乎不存在，并且极长的相互作用时间是可能的。这些成就代表了，在作为发展最快的领域之一的原子与激光物理中，科技与理论的发展近 25 年的顶点。
$\quad$ 尽管在世纪交替之际，光压的概念就是熟悉的了，但光压的机器能被认为是不重要的。光压的机器能完全是由低亮度的可用光源造成的。在发明窄线宽的可调激光器后，事情发生了显著的改变。在 1975 年，Hansch 和 Schawlow 认识到这种光源能够在原子上施加一种巨大的力，并有可能用于冷却。在几年后，Ashkin 就提出了用激光器囚禁原子。最开始的的进度是缓慢的，一些重要的里程碑式实验是在几乎十年后才被报道出来：在 1982 首次停止热光束；在 1985 首次实现三维冷却；在 1986 首次实现光学囚禁。大多数早期工作中，用于冷却和囚禁原子的激光器都是使用钠原子，因为它有几乎理想的能级结构，并且它容易产生热光束，可用使用连续波染料激光器（cw dye laser）来驱动冷却跃迁，可以使用最高效率、最可靠的染料激光器 ——Rhodamine 6G 来进行操作。随着其他一些可调光源，诸如激光二极管（laser diodes）和钛宝石激光器（Ti:sapphire lasers）出现，研究转向更加重的碱金属原子，例如 Rb 和 Cs，它们有相似的能级结构，但它们的共振线在近红外区。现在，有超过 15 种不同元素，其中一些元素有几种同位素，已经被使用在冷却和囚禁实验种了（见附录）。
$\quad$ 原子吸收光的概率取决于它通过多普勒频移的速度。如果光是红失谐的，一个运动的原子很有可能吸收这个它正在与之面向而行的光。吸收 - 荧光循环提供了减缓原子速度的动量。如果光被应用在各个方向，原子会如同受到如摩擦力一般的力。归功于多普勒频移在这个过中起到的核心作用，这个过程就被称为多普勒冷却。由于自发辐射过程的随机性质产生的耗散和扩散之间的平衡导致了原子最终的速度分布。对于一个典型的原子来说，它的平衡温度，即多普勒温度，是${10}^{-4}K$ 的量级，在图一中展示了它与其他冷却技术所能达到的最低温进行了比较。

$\quad$ 激光冷却的基本思想是吸收和放出辐射时的能量和动量守恒。尽管这看起来是毫无瑕疵的，但在试图去得到对此机制更充足理解的工作中，人们遇到了许多惊讶的事情。可能是最令人兴奋的惊讶事情是出现在当测量温度是被发现是低于多普勒极限时。这个发现催促出了进一步的实验和新的理论理解。人们意识到，现实中原子的多能级特征和光场极化的空间变化在冷却的过程中起到重要作用。新的冷却机制，也就是后来被熟知的亚多普勒冷却 (sub-Doppler cooling) 和极化梯度冷却 (polarization gradient cooling)，它们所制造的温度约为 $10^{-5} K$（见第三节）。同样，它们也有一个基本温度极限：一个原子最终的动能不可以低于相应光子的反冲动能。一般来说，反冲极限对应的温度在$10^{-7}$ and $10^{-6} K$。但是，这里有一个方法可以绕过反冲极限：允许原子去散射光子，直到恰巧最后的反冲使得 (原子) 的速度解决于零。这种方案就被称为亚反冲冷却，它已经实现了低于$10^{-6}K$ 的三维温度。
$\quad$ 许多冷却技术最初的目标是去增加相空间密度$n\lambda_{dB}^3$，这里的 n 是指密度，$\lambda_{dB}$ 是热德布罗意波长。这要求去通过速度选择来实现冷却不同。高相空间密度，即许多原子在一个窄的空间、速度分布中，是对大多数原子物理实验具有优势的。此外，相空间密度决定了原子气的行为究竟像经典气体还是量子气体。对于$n\lambda_{dB}^3 > 2.62$ 的情况，这被熟知为量子简并气体，相邻玻色原子的德布罗意波开始重叠并有序地干涉，人们就可以期待观察到有趣的集体效应，例如玻色 - 爱因斯坦凝聚和超流。
$\quad$ 激光冷却总是能导致相空间密度的一个显著增加，但是如果结合一个势阱一起工作，效果将会更好。同时冷却和囚禁的第一个验证发生在 1987，它结合使用了光和磁场。这个被称为磁光阱 (magneto-optical trap) 的仪器十分成功，它构成了在冷原子方面许多实验模块的基础部分（见 2.4 和 2.5 节）。一个典型的磁光阱由$10^{10}$ 个原子构成，温度为$10-100 \mu K$，密度高达$10^{-12} cm^{-3}$。此时的相空间密度比经典的原子光束高 10 倍，但它仍然距离量子简并状态相差成千上万倍。在一个磁光阱中，密度和温度都被近共振光的存在所限制。
$\quad$ 为了追求更高的相空间密度，人们将注意力集中在了转移冷原子到更深的势阱中，和引入其他冷却技术（见第 8 节）。其中最成功的案例是强制蒸发冷却 (forced-evaporative cooling) 的原子，这种原子被囚禁中一个纯磁阱中。结合了绝热弛豫势能的蒸发冷却能够产生低于$10^{-9} K$ 的温度。更重要的是，磁阱中蒸发冷却的技术使得人们 1995 年第一次在一个稀薄原子气体中观察到了玻色 - 爱因斯坦凝聚。一个弱相互作用的玻色子气体一直被认为是现代原子物理的圣杯，这次突破有力地说明了激光冷却和俘获技术的成功。
$\quad$ 激光冷却和俘虏技术产生巨大影响的第二个地方是精密测量（见第 5 节）。对于如何精密测量，人们想要一团大量的原子在一个相对无扰动的环境中尽可能地存在。相对无扰动的需求需要不再使用被囚禁的原子，但是在地球上，自由原子都会因为重力的存在而下落。在四十多年前，Zacharias 提出可以通过引导原子向上形成一个原子喷泉来实现想要的长测量时间。但问题是，那些速度较低的原子 (会因为重力的作用) 更早一步转身，这样就会与那些速度较快的原子发生碰撞。尽管如此，Zacharias 的想法仍然是好的，只是它需要激光冷却来实现它！用激光冷却的原子（例如来自磁光阱）作为源泉并利用辐射压力来发射它们，就可以制造一个任意高度的原子喷泉（一般来说，几分之一米高就能够增加几分之一分钟的测量时间）。第一个原子喷泉被 Kasevich 等人在 1989 验证，并且这项技术已经成为了了下一代原子钟的标准。原子喷泉也十分理想地适用于其他精密测量，例如下落原子的多普勒频移（原子重力仪），和精确测量一个原子吸收单个光子而产生的反冲效果。
$\quad$ 光力也可以用来准直、聚焦和增加原子源的单色性。这种明亮的原子束是原子光学的理想选择。原子干涉技术和原子光刻技术都得益于激光冷却和俘获技术的进步。类似的进步也为许多新领域打开了大门。其中之一是对光学晶格的研究：原子被困在由干涉光束产生的周期性势阱阵列中 (见第 7 节)。这些晶格显示了长程有序，希望它们的性质将有助于对固态物理中更复杂的周期系统有更深入的了解。另一个例子是光结合光谱，其中探针激光被调谐以激发两个碰撞原子之间的束缚态。激发态的分子随后通过自发辐射衰变为基态长程分子 (即处于高激发振动态的分子)。光结合光谱提供了关于远程对势的信息，可以用来计算散射峰，这是玻色 - 爱因斯坦凝聚理论的一个关键组成部分。激光冷却也为原子物理的许多现有领域提供了一个新的视角。例如，没有残余多普勒或压力展宽的冷原子，为量子光学实验提供了独特的样品，是精确测量原子跃迁频率和寿命的理想选择。
$\quad$ 本文综述了中性原子的激光冷却和俘获的研究进展。该领域一直在理论和实验之间的密切相互作用中蓬勃发展，因此实验突破和基础理论被并行考虑。该领域大致可以分为开发和理解新的激光冷却技术的努力，以及利用冷原子独特性质的实验。文章安排如下。在第 2 节中，我们描述了激光冷却和俘获的历史发展，包括减速原子束、多普勒冷却和磁光阱的实验。第 3 节介绍了亚多普勒冷却机制的定性讨论。在第 4 节中，考虑了两种亚反冲冷却技术：速度选择相干布居捕获和拉曼冷却。在第 5 节中将讨论冷原子的精密测量，这包括原子喷泉和原子干涉测量等技术。第 6 节综述了激光冷却在制备准直强原子束中的应用。在第 7 节中，我们将考虑原子的光学捕获，特别是光学偶极子捕获和光晶格。第 8 节讨论了对高相空间密度的追求，并描述了用于产生玻色 - 爱因斯坦凝聚的技术。最后，在附录中列出了一系列已用于或拟用于激光冷却实验的元素的关键参数。
$\quad$ 在下面的参考文献中可以找到关于激光冷却和俘获的介绍性和更专业的材料。该领域的历史发展可以在一系列一般文章，特刊和暑期学校会议记录中遵循。参考文献 44,45 考虑了光原子相互作用的半经典理论。关于激光中原子运动理论的更详细的论述可以在参考文献 46,47 中找到。文献 26 综述了光在原子光学和原子干涉测量中的应用。
$\quad$ 在对中性原子进行研究的同时，对被困离子的激光冷却也进行了大量的研究。许多想法和技术与这里介绍的非常相似，除了离子可以被捕获更长的时间，这要归功于它们与电场和磁场的更强的相互作用。然而，代价是，只有少数离子可以同时被捕获，这是由于相互库仑排斥。离子捕获的主题超出了本综述的范围，感兴趣的读者请参见其他地方。

# 历史背景

# 介绍

$\quad$ 光可以施加压力的想法已经存在很长时间了。例如，在 17 世纪，开普勒推测彗星尾巴对太阳的排斥可能是由于光的压力。后来人们意识到，其他过程更为重要，但这个假设确实确定了一个重要的天体物理效应，并刺激了进一步了解其起源的工作。然而，直到 1873 年麦克斯韦提出了光的电磁理论，这个概念才有了适当的理论基础。他证明了电磁场施加的压力等于它每单位体积的能量。对于来自太阳或热源的光，辐射压力非常小。尽管如此，麦克斯韦预测的值还是在世纪之交被列别捷夫 (Lebedev)、尼科尔斯 (Nichols) 和 Hull 在实验中证实了。
$\quad$ 我们现在对辐射压力的理解迈出了重要的一步，事实上，最直观的辐射压力模型的基础，带有光的量子力学观点。在 1917 年，爱因斯坦证明了光的量子化，或称为光子。它有能量$h\nu$，带有动量$h\nu/c=h/\lambda$，这里的$h$ 是普朗克常量，$c,\nu,\lambda$ 分别是光速，频率和波长。辐射压力的基本机制是光的吸收和发射过程中的动量守恒。沿着光的传播方向的光子动量用波矢量表示为 &k&。
$\quad$ 在这个理论发展后不久，人们就得到了辐射有粒子性的惊人证据，同时，在辐射与物质的相互作用中的动量和能量守恒也有极好的证明。康普顿效应发现于 20 世纪 20 年代初，它是这些守恒定律在 x 射线被电子散射时的表现。被散射的 x 射线的波长被观测到有一个增加，这被称为康普顿波长，$\lambda_c=h/m_ec=2.4 pm$，其中$m_e$ 是电子的质量。相应的能量被传递给反冲电子上。虽然由单个光子散射产生的原子的反冲实质上较小，但由于该过程的共振性质，原子上的辐射压力可能要大得多。对于允许的光学跃迁，共振散射率通常为每秒$10^7$ 个光子，对应于$10^5g$ 数量级的原子加速度。
$\quad$ 如果一个质量为 m 的原子吸收了一个光子，能量$h\nu$ 几乎完全转化为内能，即原子最终处于激发态。然而，动量使得原子向入射光的方向反冲，并使其速度$v$ 改变了$\hbar k/m$。原子通过自发发射光子，很快回到基态。这个过程中的动量守恒使原子再次反冲。然而，这一次，方向与发射光子的方向相反。由于自发发射是一个随机过程，具有由适当的偶极子辐射模式给出的对称分布，因此当在许多吸收 / 自发辐射周期或大量原子样本上平均时，它不会导致动量的净变化。图 2 说明了原子在这个循环中每次平均以$\hbar k/m$ 的速度改变速度的情况。

冷却循环：一个二能级原子，一开始处于基态 (上)，吸收一个动量为$\hbar k$ 的光子。原子现在处于激发态，并在入射光束的方向上增加了$\hbar k/m$ 的速度。然后内部原子能量由光子自发辐射释放，其方向由对称概率分布描述，因此与此过程相关的平均速度变化为零。

$\quad$ 1933 年，弗里希在原子系统中首次用实验证明了这一效应。用 Na 灯从侧面共振地激发一个准直的热 Na 光束的平均速度是$900m/s$。对于 Na 黄共振线的反冲对应于每散射一个光子其速度改变$3cm/s$。弗里希观察到这是一个轻微的偏离灯的偏转。结果与只有三分之一的原子被激发的估计一致。低激发率是一个基本的限制，这直到到窄带可调谐激光器的发展。作为一个主要的力，激光光源的高光谱亮度显著提高了吸收 - 荧光周期的速率。
$\quad$ Ashkin 证明了，在现实的实验条件下，具有强光学跃迁的激光共振产生的辐射压力，如碱原子的共振跃迁，可用于同位素分离、速度分析和原子捕获。辐射压强由下式给出

$$F = \frac{\triangle p}{\triangle t} = \frac{\hbar k}{\tau/f} \tag{1}$$

这里的$\tau$ 是指激发态的自然寿命，而$f$ 是原子处于激发态的时间的分数。对于 Na 的共振跃迁，$\tau=16ns$，最大的加速度是$1.5\times10^6ms^{-2}$，其对应的$f=1/2$。随着 20 世纪 70 年代连续波染料激光器的发展，在弗里施实验的激光版本中观察到原子束的显著偏转在实验上变得可行。
$\quad$ 本章介绍了激光冷却和原子俘获的重要概念。主要部分描述了减缓原子束的技术，冷却过程和原子阱的基本理论，其中磁光阱已经发展成为原子物理中大量实验中高度可靠的主力。

# 原子束的减速

$\quad$ 辐射压力的第一个应用是由近共振激光产生的，用来减缓原子束的速度。在 600 K 的温度下，Na 原子从烘箱中逸出的平均速度约为 900 米每秒。让 Na 原子在这个速度下停止需要散射大约 3 万个反向传播的光子。要与$900m/s$ 的原子共振，光应该比原子共振频率低$~1.5GHz$。然而，随着原子的减速，多普勒频移发生了变化，有效地将激光调谐出共振。对于 Na，仅仅散射 200 个光子就会使多普勒频移改变一个自然线宽 (10 兆赫)。
$\quad$ 在原子束减速的早期实验中遇到的另一个问题是光泵入另一个超精细基态的可能性。图 3 展示了 Na 的$3 ^{2}S_{1/2} —— 3 ^{2}P_{3/2}$ 中通过共振跃迁连接的能级的超精细结构。这种结构是所有碱的典型结构，尽管超细分裂的大小差别很大。图 3 中没有显示的是，每个超精细能级被分成 2F + 1 亚能级，由量子数$m_F(|m_F| \le F)$ 标记，导致大量可能的$3 ^{2}S_{1/2}$ 和$3 ^{2}P_{3/2}$ 态之间的跃迁。为了使冷却过程继续下去，选择一个闭合跃迁是很重要的，即一个自发衰变总是使原子返回到相同的初始水平的跃迁。在 Na 中，唯一闭合的跃迁是$F=2$ 到$F'=3$。但是，偶尔的非共振激发到$F'=2$ 上时，也允许自发辐射到$F=1$ 上，这样就会终止这个减速过程，因为$F=1$ 的态里共振太远，无法进一步激发。解决这一问题的方法是用能够时从$m_F=2$ 到$m_F'=3$ 跃迁的圆偏振光。然而，考虑到停止热原子所需的光子数量，这种技术严重依赖于极化的纯度，并且对杂散磁场很敏感。通过沿光束施加几百高斯的磁场，通过竞争非谐振跃迁的大塞曼位移增加了进一步的鉴别。现在被广泛采用的另一种方法是引入少量具有$F = 1$ 到$F ' = 2$ 跃迁的共振光，从而将光泵浦原子带回主冷却循环。这种光通常被称为重泵光。

与$^{23}Na$ 激光冷却相关的能级 (未按比例绘制)

$\quad$ 当原子减速时，多普勒频移变化的问题可以通过改变激光频率或原子跃迁频率来解决。在早期的减速实验中，原子是由染料激光激发的，这种激光的频率可以被快速扫描以跟踪跃迁频率。后来，通过在的基态超精细分裂$~1.7GHz$ 分离的两个模式上操作染料激光器，增添了重泵光。通过使用固定频率激光器和宽带电光调制器产生频移，可以获得这种频率啁啾技术的更精确版本。超精细重泵光是由另一个工作在 1.7 GHz 附近的调制器添加的。当使用二极管激光器时，啁啾器减缓速度在技术上变得不那么困难，就像 Cs 的情况一样。频率啁啾可以直接通过调制二极管激光电流产生，实验也有报道使用宽带辐射来保持原子减速时的共振。
$\quad$ 啁啾减缓技术，本质上是产生脉冲变慢的光束，许多原子 “错过” 了啁啾，或者在它们停止之前走了太远。为了捕获所有的原子，最好用原子共振频率的空间变化来补偿变化的多普勒频移。采用这种技术的第一次实验是在盖瑟斯堡的 NBS (现在的 NIST) 进行的。实验装置示意图如图 4 (a) 所示。当原子穿过锥形螺线管时，反向传播的激光束使原子减速。螺线管产生一个变化的磁场，使得多普勒频移被过渡频率的塞曼频移精确地补偿。最后的速度分布是通过监测弱探针束的荧光来记录的，弱探针束以$11^\degree$ 的角度拦截原子束。图 4 (b) 显示了一个缓慢速度分布的例子。由于光束的横向膨胀，在较低的终端速度下探测变得越来越困难，但在宽度约为$10m/s$ 的情况下，观测到的速度低至约$40m/s$。
$\quad$ 最近的塞曼减速机与早期的设计非常相似，除了为了方便磁光阱的加载 (见第 2.4 节)，磁场有时被设计为穿过零，这样减速的原子就会与红失谐的激光束发生共振。

Na 原子的热原子束的塞曼减缓。(a) 实验装置，展示了原子束，锥形螺线管，冷却和探测光束。(b) 减速前 (虚线) 和减速后原子速度分布的例子。冷却激光与螺线管高场端的原子发生共振。

# 多普勒冷却

$\quad$ 在上面描述的实验中，光提供了一个单向的力。虽然观测到速度扩散的大幅减少，但严格地说，这并不是冷却，而仅仅是一个方向上平均速度的减少 (在光有机会使原子转向并加速它们回到源之前，观察到减慢的分布)。1975 年，Hansch 和 Schawlow 首先提出了使用激光辐射冷却原子的可能性，即获得$v = 0$ 附近的窄分布。这个想法是用稍微低于原子吸收线 (频率) 的光线从各个方向照射原子。一个运动的原子看到与它反向运动而靠近它的光，会因为多普勒频移而导致光的频率接近共振频率；而看到与它同向运动而靠近它的光，也会因为多普勒频率而导致光的频率远离共振频率。因此，原子主要从正向散射光子，从而减慢速度。由于多普勒效应起着核心作用，这个过程通常被称为多普勒冷却。
$\quad$ 虽然冷却过程在本质上是量子力学的，如离散动量步骤所示，但如果原子波包在位置和动量空间中定位良好，则原子运动可以被经典地处理。在这种情况下，时间平均相互作用可以分为平均冷却力和弥散项。这一弥散项是源于自发辐射的随机性。对于一维多普勒冷却，通常通过对两束光束进行独立处理来获得冷却力。每束强度为$I$ 的光束施加一个力，显示吸收线的功率展宽洛伦兹线形，如图 5 (b) 所示。总的力如下：

$$\begin{aligned} F =& \hbar k \frac{\Gamma}{2} \left[ \frac{I/I_{sat}}{4(\triangle-kv)^2/\Gamma^2+(1+2I/I_{sat})} \right] \\=& \quad -\hbar k \frac{\Gamma}{2} \left[ \frac{I/I_{sat}}{4(\triangle+kv)^2/\Gamma^2+(1+2I/I_{sat})} \right] \end{aligned} \tag{2}$$

其中，$I_{sat}$ 是饱和强度，即原子在激发态停留时间占总时间$1/4$ 时的共振光强度，$\Gamma=1/\tau$ 是自然线宽，以及$\triangle=\omega_L-\omega_0$ 是失调 (对于调谐到共振以下的激光是负的)。计算原子与两个光束相互作用所使用的简化方法体现在分母的幂展宽项中所包含的两个因子。如图 5 (b) 所示，在$v = 0$ 附近，力随速度线性变化，

$$F = -\alpha v \tag{3}$$

其中

$$\alpha = -4\hbar k^2 \frac{I}{I_{sat}} \frac{2\triangle/\Gamma}{[4\triangle^2/\Gamma^2+(1+2I/I_{sat})]^2} \tag{4}$$

被称为摩擦系数 ($\alpha>0$ 为红是谐)。

一维多普勒冷却。(a) 标准激光场的频率$\omega_L$ 与线宽为$\Gamma$ 原子共振有$\triangle$ 的失谐。(b) 两个反向传播的光束都施加一个与洛伦兹速度相关的力。对于相同饱和强度的强度，最大作用力对应于每四个自然寿命产生一个光子反冲。粗曲线表示来自两梁的合力，显示出$v = 0$ 附近的粘性阻尼。

$\quad$ 方程 (3) 描绘了粒子在粘性介质中的运动。它的解是$v=0$ 方向速度的指数阻尼。然而，对于液体中的粒子，由于布朗运动最终达到平衡，吸收和自发辐射过程的随机性对原子速度分布的宽度有一个下限。事实上，一维多普勒冷却的分析与布朗运动的分析非常相似。速度分布由 Fokker-Planck 方程决定，其中力相关项项由式 (3) 给出，扩散项的特征是动量扩散系数$D_p(v)$。对于激光冷却原子，速度分布相对较窄$(kv\leq\Gamma)$，因此力可以用线性项 (式 (3)) 精确描述，扩散系数可以用$v=0$ 时的值很好地代表。$D_p$ 是通过考虑原子系综，由于吸收和辐射，言光束轴的均方动量的增加来决定的，

$$\braket{p^2(t)} = 2D_pt = (\hbar k)^2(1+Q+\xi)Rt \tag{5}$$

其中，R 是在$v~0$ 附近的散射率。扩散系数有三种不同的贡献。单位因子描述了吸收过程的统计效应 —— 即使没有自发辐射，速度分布也会变宽，因为不是所有原子都吸收相同数量的光子。与 Mandel$Q$ 参数成正比的一项 $[(\triangle n)^2-\braket{n}]/\braket{n}$，描述了一种反常扩散现象，反映了散射光子的反聚集效应。对于我们感兴趣的程度，这一项很小并且或许可以被忽略。与$\xi$ 成正比的项表示自发辐射产生的反冲效应。对于特定的跃迁，$\xi$ 的值由自发辐射光子的角分布决定。比如对于线性偏振光$\xi=2/5$，对于圆偏振光$\xi=3/10$。假如说，对于真实的一维构型，光子沿着光束轴发射，$\xi=1$。
$\quad$ 与方程 (3) 类似，散射比率被如下给出，

$$R = \frac{\Gamma I/I_{sat}}{4\triangle^2/\Gamma^2+(1+2I/I_{sat})} \tag{6}$$

通过将摩擦引起的冷却速率与动量扩散引起的加热速率相等，发现了平衡稳定$T$ 是正比与扩散系数和摩擦系数的比值，例如：

$$k_B T = \frac{D_p}{\alpha} = -\frac{(1+\xi)}{8} \hbar \Gamma \left[ \frac{2\triangle}{\Gamma} + \frac{\Gamma}{2\triangle} (1+2I/I_{sat}) \right] \tag{7}$$

这里的$k_B$ 是玻尔兹曼常数。对于$I \ll I_{sat}$ 的情况，最低温度在$\triangle=-\Gamma/2$ 时到达，为

$$T_{min} = \frac{\hbar \Gamma}{2k_B} (\frac{1+\xi}{2}) \tag{8}$$

对于 Na 的共振跃迁，$\hbar \Gamma/2k_B \approx 240 \mu K$。其他相关值在附录中给出。Gordon 和 Ashkin 提出了关于一维冷却更完整的理论分析，包括散射力和感应电偶极矩与电场之间的相互作用。
$\quad$ 将多普勒冷却扩展到三维是显然的。通过使用六束光，形成三个正交的驻波，原子将处处受到粘滞阻力，$F=-\alpha v$，阻碍它的运动。然而后来人们意识到，对三维的扩展并非微不足道。为了表达更加清晰，并与历史的发展保持一致，我们将把对这一主题的深入讨论推迟到第三章。
$\quad$ 三维多普勒冷却的第一次实验演示是由 Chu 等人在 1985 年报道的。通过使用紫外短脉冲照射 Na 金属球，产生一束 Na 原子，并使用啁啾减速技术对其进行减速。减慢的原子被引导到三个正交驻波的交点，由六个$~7$ 毫米直径的光束形成。激光冷却器的频率被调谐至略低于$^{2}S_{1/2},F=2$ 到$^{2}P_{3/2},F'=3$ 的跃迁频率。电光调制器提供了几乎与$^{2}S_{1/2},F=1$ 到$^{2}P_{3/2},F'=2$ 跃迁频率共振的光。尽管产生和减速原子束的效率明显低下，但实验仍然能够限制约$10^5$ 数量级的原子，足以肉眼清楚地看到原子云。由于这种力的粘性，它被命名为光学糖浆（这个名字就这样留下了）。冷却灯被关闭一段可控的时间（几毫秒），通过探测在固定体积内由于弹性膨胀造成的原子损失，可以估计温度在$240^{+200}_{-60}\mu K$。
$\quad$ 虽然第一次实验似乎与理论预期相当一致，但很快又出现了许多未解之谜。为了获得关于冷却过程更加定量的理解，人们很快发现三维光学糖浆的实际效果明显好于预期，其中的一些工作和之后对冷却机制微妙性质的理论分析将在第三章中描述。

# 阱

$\quad$ 原子的阱可以被粗略地分为种类型，分别基于 (1) 诱导原子偶极矩；(2) 磁场；(3) 辐射压合静场的组合。利用辐射压力捕获或操纵原子的想法可以追溯到列托霍夫在 1968 年提出的一个建议。随后出现了大量基于辐射压力或需要激光冷却原子作为输入的原子囚禁的建议。值得注意的是，光学糖蜜不是陷阱。虽然它确实提供了粘性阻尼，但原子可以自由地四处扩散，它们最终到达相互作用区域的表面，然后逃逸。

# 光学偶极阱

$\quad$ 光学偶极子阱的原理起源于阿什金利用光捕获和悬浮微观透明粒子的工作。在激光场$E$ 中，极化率为$\alpha_p$ 的粒子具有偶极矩$\alpha_pE$ 合势能$-\alpha_pE^2$。因此，对于$\alpha_p>0$ 的情况，粒子被吸引到高强度 E 的地方。这个力被称为光学偶极力，相应的阱被称为光学偶极阱。对于处于基态的原子，直到第一次共振的激光频率的极化率都是正的，因此阿什金提出，原子可以被调谐到原子共振以下的强聚焦激光束捕获 (红失谐)。捕集势如图 6 所示。在现实的实验条件中，囚禁势是相对窄的。这相当于几个 mK 的温度，因此光捕获是在三维激光工具开发之后才成为可能的。在第一个光学捕获实验中，一个功率为几百兆瓦的染料激光被聚焦到 10pm 大小的光斑，靠近由光学糖蜜冷却的 Na 原子云的中心。捕获光对原子的辐射加热通过偶极子和糖蜜光束的交替来补偿。当光调到原子共振以下几百兆赫时，就会形成一个包含几百个原子的细长的小阱。虽然这项工作是第一次报道三维捕获，但光学偶极子力以前曾被用来引导和聚焦沿着激光束轴线运动的原子。光学偶极阱将在第 7.2 节中更详细地讨论。

光学偶极阱。在调谐到共振以下的强光场存在下，原子的势能降低。强聚焦激光束的$e^{-2}$ 半径为$\omega_0$。阱沿光束轴的特征长度为$z_0=\pi\omega^2_0/\lambda~$, 通常大于$\omega_0~$